Lời giải:
Phản chứng. Giả sử \(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}\in \mathbb{Q}\). Khi đó đặt \(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}=q(q\in\mathbb{Q})\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{2}+\sqrt{3}=q-\sqrt{5}\)
\(\Rightarrow (\sqrt{2}+\sqrt{3})^2=(q-\sqrt{5})^2\)
\(\Leftrightarrow 5+2\sqrt{6}=q^2+5-2q\sqrt{5}\)
\(\Leftrightarrow 2\sqrt{6}=q^2-2q\sqrt{5}\)
\(\Rightarrow 24=q^4+20q^2-4q^3\sqrt{5}\) (bình phương hai vế)
\(\Leftrightarrow q^4+20q^2-24=4q^3\sqrt{5}(*)\)
Vế trái là một số hữu tỉ, vế phải là vô tỉ do \(4q^3\in\mathbb{Q}, \sqrt{5}ot\in \mathbb{Q}\) do đó \((*)\) vô lý. Tức là điều giả sử sai.
Do đó \(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}\in\mathbb{I}\)
=========-
Chứng minh \(\sqrt{5}\in\mathbb{I}\)
Giả sử nó là số hữu tỉ. Khi đó tồn tại \(a,b\in\mathbb{N}; (a,b)=1\) sao cho \(\sqrt{5}=\frac{a}{b}\Rightarrow 5=\frac{a^2}{b^2}\)
\(\Rightarrow a^2=5b^2\Rightarrow a^2\vdots 5\rightarrow a\vdots 5\)
Đặt \(a=5k(k\in\mathbb{N})\) \(\Rightarrow 25k^2=5b^2\Leftrightarrow 5k^2=b^2\Rightarrow b^2\vdots 5\Rightarrow b\vdots 5\)
Khi đó \(\text{ƯCLN}(a,b)\geq 5\) (vô lý vì \((a,b)=1\) )
Do đó \(\sqrt{5}\in\mathbb{I}\)
