Đáp án:
`AB={3\sqrt{2}+\sqrt{6}}/2; AC=\sqrt{3}+1`
Giải thích các bước giải:
Vẽ $AH\perp BC$ tại $H$
Xét $∆ABH$ vuông tại $H$ có `\hat{ABH}=45°`
`=>∆ABH` vuông cân tại $H$
`=>BH=AH`
Đặt `AH=x\quad (0<x<2+\sqrt{3})`
`=>BH=x`
$\\$
`=>CH=BC-BH=2+\sqrt{3}-x`
$\\$
$∆ACH$ vuông tại $H$
`=>tan\hat{ACH}=tan60°={AH}/{CH}`
`=>AH=CH.tan60°`
`=>x=(2+\sqrt{3}-x).\sqrt{3}`
`=>x=2\sqrt{3}+3-\sqrt{3}x`
`=>\sqrt{3}x+x=2\sqrt{3}+3`
`=>x(\sqrt{3}+1)=2\sqrt{3}+3`
`=>x={2\sqrt{3}+3}/{\sqrt{3}+1}` (thỏa mãn)
$\\$
`\qquad sin\hat{ACH}=sin60°={AH}/{AC}`
`=>AC=AH: sin60°=x: \sqrt{3}/2={2x}/\sqrt{3}`
`={2(2\sqrt{3}+3)}/{\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}`
`={2.\sqrt{3}.(2+\sqrt{3})(\sqrt{3}-1)}/{\sqrt{3}.(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}`
`={2(2\sqrt{3}-2+3-\sqrt{3})}/{3-1}=\sqrt{3}+1`
$\\$
$∆ABH$ vuông cân tại $H$
`=>sin\hat{ABH}=sin45°={AH}/{AB}`
`=>AB=AH : sin45°=x: 1/\sqrt{2}=\sqrt{2}x`
`={\sqrt{2}.(2\sqrt{3}+3)}/{\sqrt{3}+1}`
`={2\sqrt{6}+3\sqrt{2}}/{\sqrt{3}+1}`
`={(2\sqrt{6}+3\sqrt{2}).(\sqrt{3}-1)}/{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}`
`={6\sqrt{2}-2\sqrt{6}+3\sqrt{6}-3\sqrt{2}}/{3-1}`
`={3\sqrt{2}+\sqrt{6}}/2`
Vậy: `AB={3\sqrt{2}+\sqrt{6}}/2; AC=\sqrt{3}+1`
