Đáp án:
Vì 11 là số nguyên tố, (2,11) = 1 nên theo định lý Fermat $2^{10n}$ ≡ 1( mod 11 ) .
⇒$2^{10n}$ ≡ 1( mod 11 ) hay $2^{10n+1}$ ≡ 2( mod 22 ). Do đó ta có thể viết $2^{10n+1}$ = 22k+2 với k ∈ N*.
Khi đó $2^{2^{10n+1}}$ + 19 = $2^{22k + 2}$ + 19
Vì 23 là số nguyên tố và (2,23) = 1 nên theo định lý Fermat ta có $2^{22}$ ≡ 1(mod 23) . Suy ra $2^{22k}$ ≡ 1(mod 23) hay $2^{22k+2}$ ≡ 4(mod 23).
Từ đó $2^{2^{10n+1}}$ + 19 = $2^{22k+2}$ + 19 ≡ 4 + 19 ≡ 0 ( mod 23 )
Vậy $2^{2^{10n+1}}$ chia hết cho 23 . Kết hợp với $2^{2^{10n+1}}$ + 19 > 23 với n là số nguyên dương ⇒ là hợp số.
