Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông
Xét $∆ABC$ vuông tại $A$ đường cao $AH$
`=>AH.BC=AB.AC`
$\\$
Xét $∆ABH$ vuông tại $H$ có đường cao $HM$
`=>AH^2=AM.AB`
$\\$
Xét $∆ACH$ vuông tại $H$ có đường cao $HN$
`=>AH^2=AN.AC`
$\\$
`=>AH^2 . AH^2=AM.AB.AN.AC`
`=>AH^4=AM.AN.AB.AC`
`=>AH^4=AM.AN.AH.BC`
`=>AM.AN={AH^4}/{AH.BC}={AH^3}/{BC}`
`=>2. 1/ 2 AM.AN={AH^3}/{BC}`
`=>2S_{∆AMN}={AH^3}/{BC}`
Vậy: `2S_{∆AMN}={AH^3}/{BC}`
______
Sửa đề `2S_{∆AMN}={AH^3}/{BC}`
Hoặc: `S_{AMHN}={AH^3}/{BC}`
Tứ giác `AMHN` có:
`\qquad \hat{MAN}=\hat{AMH}=\hat{ANH}=90°`
`=>AMHN` là hình chữ nhật
`=>S_{AMHN}=AM.AN={AH^3}/{BC}` (đpcm)
