Vì `ABC` cân tại `A`
`⇒hat{EBC}=hat{DCB}(` tính chất `Δ` cân `)`
`AB=AC(` tính chất `Δ` cân `)`
Ta có:`hat{EBC}=hat{B_1}+hat{B_2}`
`hat{DCB}=hat{C_1}+hat{C_2}`
Mà `hat{EBC}=hat{DCB}(cmt)`
`hat{B_1}=hat{B_2}(g``t)`
`hat{C_1}=hat{C_2}(g``t)`
`⇒hat{B_1}=hat{B_2}=hat{C_1}=hat{C_2}`
Xét `ΔABD` và `ACE` có:
`hat{A}:chung`
`AB=AC(cmt)`
`hat{B_1}=hat{C_1}(cmt)`
`⇒ΔABD=ΔACE(g.c.g)`
`⇒AD=AE(2` cạnh tương ứng `)`
`⇒ΔAED` cân tại `A`
`⇒hat{AED}=(180^o-hat{A})/2(1)`
Vì `ΔABC` cân tại `A`
`⇒hat{ABC}=(180^o-hat{A})/2(2)`
Từ `(1)` và `(2)⇒hat{AED}=hat{ABC}`
Mà `2` góc này nằm ở vị trí đồng vị
`⇒DE////BC`
Xét tứ giác `BEDC` có:
`DE////BC(cmt)`
`⇒` tứ giác `BEDC` là hình thang `(` dấu hiệu nhận biết hình thang `)`
Mà `hat{EBC}=hat{DCB}(cmt)`
`⇒BEDC` là hình thang cân `(` hình thang có `2` góc kề `1` đáy bằng nhau là hình thang cân `)(3)`
Vì `DE////BC(cmt)`
`⇒hat{D_1}=hat{B_2}(2` góc so le trong `)`
Mà `hat{B_1}=hat{B_2}(g``t)`
`⇒hat{B_1}=hat{D_1}`
`⇒ΔBDE` cân tại `E`
`⇒DE=BE(` tính chất `Δ` cân `)(4)`
Từ `(3)` và `(4)⇒BEDC` là hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên `(đpcm)`
