`a,` `ABCD` là hình chữ nhật $(gt)$
`⇒\hat{BAD}=\hat{BCD}=90^o,AD=BC=15` `(cm)`
Áp dụng định lý Pytago trong `ΔABD` vuông tại `A` `(\hat{BAD}=90^o)` có:
`BD^2=AB^2+AD^2`
Hay `BD^2=8^2+15^2`
`⇔BD^2=64+225=289`
`⇔BD=17` `(cm)` (vì `BD>0`)
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong `ΔABD` vuông tại `A` `(\hat{BAD}=90^o),AH\botBD` có:
`AH.BD=AB.AD`
Hay `AH.17=8.15`
`⇔AH.17=120`
`⇔AH=120/17` `(cm)`
`b,`
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong `ΔABD` vuông tại `A` `(\hat{BAD}=90^o),AH\botBD` có:
`AH^2=BH.DH`
`AH` cắt `BC` và `DC` tại `I` và `K` $(gt)$
`⇒AK\botBD` tại `H`
`⇒\hat{BHK}=\hat{DHK}=90^o` Hay `\hat{BHI}=90^o`
Xét `ΔBHI` và `ΔBCD` có:
`\hat{BHI}=\hat{BCD}=90^o`
`\hat{DBC}`: góc chung
`⇒ΔBHI`$\backsim$`ΔBCD` `(g.g)`
`⇒\hat{BIH}=\hat{BDC}` (các góc tương ứng)
Hay `\hat{BIH}=\hat{HDK}`
Xét `ΔBHI` và `ΔKHD` có:
`\hat{BHI}=\hat{DHK}=90^o`
`\hat{BIH}=\hat{HDK}` `(cmt)`
`⇒ΔBHI`$\backsim$`ΔKHD` `(g.g)`
`⇒{HI}/{HD}={HB}/{HK}` (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
`⇒HI.HK=HB.HD`
Mà `AH^2=BH.DH` `(cmt)`
`⇒AH^2=HI.HK`
