Đáp án:
$b)m=\dfrac{2}{3}\\ c)(x_1+x_2)^2+x_1x_2+x_1+x_2+2=0\\ d)y^2-(m-3)y - m^2- m+1 =0$
Giải thích các bước giải:
$x^2 -(m-1)x-m^2+m-2=0(1)\\ a)\Delta=(m-1)^2-4(-m^2+m-2)\\ =5m^2-6m+9\\ =5\left(m^2-\dfrac{6}{5}m\right)+9\\ =5\left(m^2-2.\dfrac{3}{5}m+\dfrac{9}{25}\right)+\dfrac{36}{5}\\ =5\left(m^2-\dfrac{3}{5}\right)^2+\dfrac{36}{5} >0 \ \forall \ m$
$\Rightarrow (1)$ luôn có nghiệm với mọi $m$
$b)Vi-et: x_1+x_2=m-1\\ x_1x_2=-m^2+m-2\\ x_1^2+x_2^2\\ =x_1^2+2x_1x_2+x_2^2-2x_1x_2\\ =(x_1+x_2)^2-2x_1x_2\\ =(m-1)^2-2(-m^2+m-2)\\ =3m^2-4m+5\\ =3\left(m^2-\dfrac{4}{3}m\right)+5\\ =3\left(m^2-2.\dfrac{2}{3}m+\dfrac{4}{9}\right)+\dfrac{11}{3}\\ =3\left(m-\dfrac{2}{3}\right)^2+\dfrac{11}{3} \ge \dfrac{11}{3} \ \forall \ m$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow m-\dfrac{2}{3}=0 \Leftrightarrow m=\dfrac{2}{3}$
$c)x_1+x_2=m-1\\ x_1x_2=-m^2+m-2\\ (x_1+x_2)^2\\ =m^2-2m+1\\ =-(-m^2+m-2)-m+1-2\\ =-(-m^2+m-2)-(m-1)-2\\ =-x_1x_2-(x_1+x_2)-2\\ =-x_1x_2-x_1-x_2-2$
Hệ thức liên hệ: $(x_1+x_2)^2+x_1x_2+x_1+x_2+2=0$
$d)Vi-et:y_1+y_2=x_1-1+x_2-1=x_1+x_2-2=m-1-2=m-3\\ y_1y_2=(x_1-1)(x_2-1)=x_1x_2-2(x_1+x_2)+1=-m^2+m-2-2(m-1)+1= - m^2- m+1$
Phương trình bậc 2 có 2 nghiệm $y_1;y_2:$
$y^2-(m-3)y - m^2- m+1 =0$
