`a,` `ABCD` là hình thang cân $(gt)$
`⇒AB`$//$`CD,AC=BD,AD=BC,\hat{ADC}=\hat{BCD}` Hay `\hat{QDC}=\hat{QCD}`
Xét `ΔQCD` có: `\hat{QDC}=\hat{QCD}` `(cmt)`
`⇒ΔQCD` cân tại `Q`
`⇒QC=QD` `⇒Q` thuộc đường trung trực của `CD`
Có:
`QD=QA+AD`
`QC=QB+BC`
Mà `QC=QD` `(cmt),` `BC=AD` `(cmt)`
`⇒QA=QB` `⇒Q` thuộc đường trung trực của `AB`
`b,` Xét `ΔADC` và `ΔBCD`có:
`AD=BC` `(cmt)`
`AC=BD` `(cmt)`
`BC:` cạnh chung
`⇒ΔADC=BCD` `(c.c.c)
`⇒\hat{ACD}=\hat{BDC}` (hai góc tương ứng) Hay `\hat{PCD}=\hat{PDC}`
Xét `ΔPCD` có: `\hat{PCD}=\hat{PDC}` `(cmt)`
`⇒ΔPCD` cân tại `P`
`⇒PC=PD` `⇒P` thuộc trung trực của `CD`
Mà `Q` thuộc trung trực của `CD` `(cmt)`
`⇒PQ` là đường trung trực của `CD`
Có:
`AC=AP+PC`
`BD=BP+PD`
Mà `PC=PD` `(cmt),` `AC=BD` `(cmt)`
`⇒AP=BP` `⇒P` thuộc trung trực của `AB`
Mà `Q` thuộc trung trực của `AB` `(cmt)`
`⇒PQ` là đường trung trực của `AB`
