`1)` Ta có bất đẳng thức :
`a^2/x + b^2/y >= ( a + b )^2/( x + y ) ( Đk : a , b , x , y >0 )`
Chứng minh :
`a^2/x + b^2/y >= ( a + b )^2/( x + y )`
`<=> ( a^2y + b^2x )/(xy) >= ( a^2 + 2ab + b^2 )/( x + y )`
`<=> ( a^2y + b^2x )/(xy) . ( x + y ) >= a^2 + 2ab + b^2`
`<=> ( a^2y + b^2x ) . ( x + y ) >= ( a^2 + 2ab + b^2 ) . xy`
`<=> a^2xy + b^2x^2 + a^2y^2 + b^2xy >= a^2xy + 2abxy + b^2xy`
`<=> a^2y^2 - 2abxy + b^2x^2 >= 0`
`<=> ( ay - bx )^2 >= 0` ( luôn đúng )
`=> a^2/x + b^2/y >= ( a + b )^2/( x + y )`
Áp dụng bất đẳng thức trên , ta có :
`1/a + 1/b + 1/c >= ( 1 + 1 )^2/( a + b ) + 1/c`
`<=> 1/a + 1/b + 1/c >= ( 1 + 1 + 1 )^2/( a + b + c )`
`<=> 1/a + 1/b + 1/c >= 3^2/( a + b + c )`
`<=> ( a + b + c )( 1/a + 1/b + 1/c ) >= 9 ( đpcm )`
`2)` Ta có bất đẳng thức :
`2( x^2 + y^2 ) >= ( x + y )^2`
Chứng minh :
`2( x^2 + y^2 ) >= ( x + y )^2`
`<=> 2x^2 + 2y^2 >= x^2 + 2xy + y^2`
`<=> x^2 - 2xy + y^2 >= 0`
`<=> ( x - y )^2 >= 0` ( luôn đúng )
`=> 2( x^2 + y^2 ) >= ( x + y )^2`
`<=> ( x + y )^2 ≤ 2 . 1 \text{( vì x² + y² = 1 )}`
`<=> ( x + y )^2 ≤ 2`
`<=> sqrt {( x + y )^2} ≤ sqrt {2}`
`<=> | x + y | ≤ sqrt {2}`
`<=> - sqrt {2} ≤ x + y ≤ sqrt {2} ( đpcm )`
