Đáp án + giải thích các bước giải:
Đặt `A=a/(b+c)+b/(c+d)+c/(d+e)+d/(e+f)+e/(f+a)+f/(a+b)`
`=a^2/(ab+ac)+b^2/(bc+bd)+c^2/(cd+ce)+d^2/(de+df)+e^2/(ef+ea)+f^2/(fa+fb)`
Áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu:
`->A>=(a+b+c+d+e+f)^2/(ab+ac+bc+bd++cd+ce+de+df+ef+ea+fa+fb)`
Ta cần chứng minh `A>=3` tức là:
`(a+b+c+d+e+f)^2/(ab+ac+bc+bd++cd+ce+de+df+ef+ea+fa+fb)>=3`
`->(a+b+c+d+e+f)^2>=3(ab+ac+bc+bd+cd+ce+de+df+ef+ea+fa+fb)`
`->a^2+b^2+c^2+d^2+e^2+f^2+2ab+2ac+2ad+2ae+2af+2bc+2bd+2be+2bf++2cd+2ce+2cf+2de+2df+2ef>=3(ab+ac+bc+bd+cd+ce+de+df+ef+ea+fa+fb)`
`a^2+b^2+c^2+d^2+e^2+f^2-ab-ac+2ad-ae-af-bc-bd+2be-bf-cd-ce+2cf-de-df-ef>=0`
`->a^2+2ad+d^2+b^2+2be+e^2+c^2+2cf+f^2>=(ab+bd+ae+de)+(ac+af+dc+df)+(bc+bf+ce+fe)`
`->(a+d)^2+(b+e)^2+(c+f)^2>=(a+d)(b+e)+(a+d)(c+f)+(b+e)(c+f)`
mà theo bất đẳng thức Cô-si:
`(a+d)(b+e)+(a+d)(c+f)+(b+e)(c+f)<=((a+d)^2+(b+e)^2)/2+((a+d)^2+(c+f)^2)/2+((b+e)^2+(c+f)^2)/2`
`->đpcm`
Dấu bằng xảy ra khi `a=b=c=d=e=f`
