Giải thích các bước giải:
A = 1³ + 2³ + ... + 100³ chia hết cho B = 1 + 2 + ... + 100
Ta có:
B = 1 + 2 + ... + 100
Số các số hang của B là:
(100 - 1) : 1 + 1 = 100 (số hạng)
B = (100 + 1). 100 : 2 = = 101. 50
Để chứng minh A ⋮ B, ta chứng minh A chia hết cho 50 và 101.
Ta có:
A = 1³ + 2³ + ... + 100³
= (1³ + 100³) + (2³ + 99³) + ... + (50³ + 51³)
= (1 + 100)(1² - 1. 100 + 100²) + (2 + 99)(2² - 2.99 + 99²) + ... + (50 + 51)(50² - 50.51 + 51²)
= 101. (1² - 100 + 100²) + 101.(2² - 2.99 + 99²) + ... + 101.(50² - 50.51 + 51²)
= 101.(1² - 100 + 100² + 2² - 2.99 + 99²+ ... + 50² - 50.51 + 51²) ⋮ 101 (1)
Ta lại có:
A = 1³ + 2³ + ... + 100³
= (1³ + 99³) + (2³ + 98³) + ... (49³ + 51³) + (50³ + 100³) ⋮ 50 (2)
Mà ƯCLN(50; 101) = 1
⇒ A ⋮ 101 và A ⋮ 50
Vậy A = 1³ + 2³ + ... + 100³ chia hết cho B = 1 + 2 + ... + 100 (đpcm)
Chúc bạn học tốt nhé
