a) Chứng minh tứ giác AMQI nội tiếp:
Ta có: MA=MC(tính chất hai tếp tuyến cắt nhau)
OA=OC(bán kính đường trong (O))
Do đó MO⊥AC⇒MIA=$90^{o}$
AQB=$90^{o}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O))⇒AQB=$90^{o}$
Hai đỉnh I và Q cùng nhìn AM dưới một góc vuông nên tứ giác AMQI nội tiếp được trong một đường tròn.
b) Chứng minh AQI=ACO
Tứ giác AMQI nội tiếp nên AQI=AMI (cùng chắn cung AI).(1)
AMI=CAO(cùng phụ MAC) (2)
ΔAOC có OA=Oc nên cân ở O ⇒ CAO=ACO
Từ (1),(2),(3) suy ra: AQI=ACO
c) Chứng minh CN=NH
gọi K là nơi giao điểm của 2 tia BC và Ax
Ta có: ACB=$90^{o}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường trong (O))
AC⊥BK, AC⊥OM ⇒ OM//BK
Tam giác ABK có: OA=OB, OM//BK ⇒ MA=MK
Áp dụng hệ quả định lí ta let cho ΔABM có NH//AM (cùng ⊥AB) ta được:
$\frac{NH}{AM}$ =$\frac{BN}{BM}$ (4)
Áp dụng hệ quả định lí ta let cho ΔBKM có CN//KM (cùng ⊥AB) ta được:
$\frac{CN}{KM}$ =$\frac{BN}{BM}$ (5)
Từ (4),(5) suy ra: $\frac{NH}{yAM}$ =$\frac{CN}{KM}$
Mà CN=AM nên KM=NH(đpcm)
