Đáp án + giải thích các bước giải:
`AM` là trung tuyến của `ΔABC` vuông tại `A`
`->MA=MC=MB=(BC)/2`
`->ΔMAC` cân tại `M`
`->\hat{MAC}=\hat{MCA}`
mà `\hat{AMH}=\hat{MAC}+\hat{MCA}` (góc ngoài tam giác)
`->\hat{AMH}=\hat{MCA}+\hat{MCA}=2\hat{MCA}=2\alpha`
a) Ta có: `sin\hat{AMH}=(AH)/(AM)`
`->sin 2\alpha=(AH)/(AM)`
Xét `ΔAHC` vuông tại `C`, có:
`sin \alpha=(AH)/(AC)`
`cos \alpha =(CH)/(AC)`
`->2sin\alpha .cos\alpha =2 . (AH)/(AC) . (CH)/(AC)=2. (AH.CH)/(AC^2)`
mà `AC^2=CH.BC` (hệ thức lượng trong `ΔABC` vuông tại `A` có đường cao `AH`)
`->2sin\alpha . cos\alpha =2. (AH.CH)/(CH.BC)=2. (AH)/(BC)=2. (AH)/(2AM)=(AH)/(AM)=sin 2\alpha`
`->đpcm`
b) `cos^2\alpha-sin^2\alpha=cos^2 \alpha -(1-cos^2 \alpha)=2cos^2 \alpha -1 =2. (AC^2)/(BC^2)-1`
mà `AC^2=CH.BC` (hệ thức lượng trong `ΔABC` vuông tại `A` có đường cao `AH`)
`->2. (AC^2)/(BC^2)-1=2. (CH.BC)/(BC^2)-1=2. (CH)/(BC)-1 =2 .(CH)/(2AM) -1=(CH)/(AM)-1=(CH-AM)/(AM)=(CH-CM)/(AM)=(HM)/(AM)=cos \hat{AMH}=cos 2\alpha`
c) Áp dụng kết quả hai câu trên
`tan 2\alpha=(sin 2\alpha)/(cos 2\alpha)=(2sin \alpha. cos \alpha)/(cos^2 \alpha -sin^2\alpha)=(2 (sin \alpha)/(cos \alpha))/(1-(sin^2\alpha)/(cos^2\alpha))=(2tan \alpha)/(1-tan^2\alpha)`
