Biến đổi ta được :
$(\sqrt[3]{a})^3 + (\sqrt[3]{b})^3 + (\sqrt[3]{c})^3\ge 3\sqrt[3]{a} . \sqrt[3]{b}.\sqrt[3]{c}$
Đặt $x=\sqrt[3]{a},y=\sqrt[3]{b}, z=\sqrt[3]{c}$
Do `a,b,c>0 ->x,y,z>0`
`->x+y+z>0`
Khi đó biểu thức cần chứng minh sẽ trở thành :
`x^3+y^3+z^3 \ge 3xyz`
`-> x^3+y^3+z^3-3xyz\ge 0`
`->(x+y)^3+z^3-3xy(x+y)-3xyz\ge 0`
`->(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz)\ge 0`
Do `x+y+z>0`
`->x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz\ge 0`
`->2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2xz\ge 0`
`->(x^2-2xy+y^2)+(y^2-2yz+z^2)+(x^2-2xz+z^2)\ge 0`
`->(x-y)^2 + (y-z)^2 +(x-z)^2\ge 0` (Luôn đúng)
`->x^3+y^3+z^3\ge 3xyz`
`->` $(\sqrt[3]{a})^3 + (\sqrt[3]{b})^3 + (\sqrt[3]{c})^3\ge 3\sqrt[3]{a} . \sqrt[3]{b}.\sqrt[3]{c}$
`->` $a+b+c\ge 3\sqrt[3]{abc}$
Dấu "`=`" xảy ra khi :
`x-y=0,y-z=0,x-z=0<=>x=y=z <=>a=b=c`
