`a)` `BH=3cm; CH=12cm`
`=>BC=BH+CH=3+12=15cm`
Xét $∆ABC$ vuông tại $A$ đường cao $AH$
`=>AB^2=BH.BC` (hệ thức lượng)
`=>AB^2=3.15=45`
`=>AB=\sqrt{45}=3\sqrt{5}cm`
$\\$
`\qquad AC^2=CH.BC` (hệ thức lượng)
`=>AC^2=12.\ 15=180`
`=>AC=\sqrt{180}=6\sqrt{5}cm`
$\\$
Vậy `AB=3\sqrt{5}cm;AC=6\sqrt{5}cm`
$\\$
`b)` Xét tứ giác $AEHF$ có:
`\qquad \hat{EAF}=\hat{AEH}=\hat{AFH}=90°`
`=>AEHF` là hình chữ nhật
`=>AE=HF; AF=HE`
$\\$
Xét $∆ABH$ vuông tại $H$ đường cao $HE$
`=>AH^2=AE.AB` (hệ thức lượng)
Xét $∆ACH$ vuông tại $H$ đường cao $HF$
`=>AH^2=AF.AC` (hệ thức lượng)
$\\$
`=>AE.AB=AF.AC`
`=>AE.3\sqrt{5}=AF.6\sqrt{5}`
`=>AE=2AF`
`=>HF=2HE` (vì $AE=HF;AF=HE$)
Vậy $HF=2HE$ (đpcm)
$\\$
`c)` Xét $∆ACI$ vuông tại $A$ đường cao $AK$
`=>IA^2=IK.CI` (hệ thức lượng)
$\\$
Xét $∆ABC$ vuông tại $A$ đường cao $AH$
`=>AB^2=BH.CB` (hệ thức lượng)
$\\$
Xét $∆BCI$ vuông tại $C$ có đường cao $CA$
`=>CI^2=IA.IB; CB^2=AB.IB`
`=>{CI^2}/{CB^2}={IA.IB}/{AB.IB}={IA}/{AB}`
`=>{CI^4}/{CB^4}={IA^2}/{AB^2}`
`=>{CI^4}/{CB^4}={IK.CI}/{BH.CB}`
Chia hai vế cho `{CI}/{CB}`
`=>{CI^3}/{CB^3}={IK}/{BH}` (đpcm)
