Đáp án + Giải thích các bước giải:
Ta có: $\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b^2}{ca}+\dfrac{c^2}{ab}=\dfrac{a^2}{ab+ca}+\dfrac{b^2}{ca}+\dfrac{c^2}{ab}$
Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ ta được:
$\dfrac{a^2}{ab+ca}+\dfrac{b^2}{ca}+\dfrac{c^2}{ab}\ge \dfrac{(a+b+c)^2}{ab+ca+ca+ab}=\dfrac{(a+b+c)^2}{2a(b+c)}$
Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ ta có:
$2a(b+c)\le 2\bigg(\dfrac{a+b+c}{2}\bigg)^2$
Do đó ta có được:
$\dfrac{(a+b+c)^2}{2a(b+c)}\ge \dfrac{(a+b+c)^2}{2\bigg(\dfrac{a+b+c}{2}\bigg)^2}=2$
Dấu $"="$ xảy ra khi $a=2b=2c$
