`a)` $BH=4cm; HC=6cm$
`=>BC=BH+HC=4+6=10cm`
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông
Xét $∆ABC$ vuông tại $A$ đường cao $AH$
`=>AH^2=BH.HC=4.6=24`
`=>AH=\sqrt{24}=2\sqrt{6}cm`
$\\$
`\qquad AB^2=BH.BC=4.10=40`
`=>AB=\sqrt{40}=2\sqrt{10}cm`
$\\$
`\qquad AC^2=HC.BC=6.10=60`
`=>AC=\sqrt{60}=2\sqrt{15}cm`
$\\$
Vậy `AH=2\sqrt{6}cm;AB=2\sqrt{10}cm;AC=2\sqrt{15}cm`
$\\$
`c)` Xét $∆ABM$ vuông tại $A$ có $AK\perp BM$ (gt)
`=>AB^2=BK.BM` (hệ thức lượng)
Mà `AB^2=BH.BC` (câu a)
`=>BK.BM=BH.BC` (đpcm)