Đáp án: `x=4`
Giải thích các bước giải:
`ĐK: {(2x+1≥0),(17-2x≥0):} ⇒{(x≥-1/2),(x≤17/2):} ⇒-1/2≤x≤17/2`
`\sqrt{2x+1}+\sqrt{17-2x}=x^4-8x^3+17x^2-8x+22`
`⇔(\sqrt{2x+1}-3)+(\sqrt{17-2x}-3)=x^4-8x^3+17x^2-8x+16`
`⇔((\sqrt{2x+1}-3)(\sqrt{2x+1}+3))/(\sqrt{2x+1}+3)+((\sqrt{17-2x}-3)(\sqrt{17-2x}+3))/(\sqrt{17-2x}+3)=x^4−4x^3-4x^3+16x^2+x^2-4x-4x+16`
`⇔(2x+1-9)/(\sqrt{2x+1}+3)+(17-2x-9)/(\sqrt{17-2x}+3)=x^3(x-4)-4x^2(x-4)+x(x-4)-4(x-4)`
`⇔(2x-8)/(\sqrt{2x+1}+3)+(8-2x)/(\sqrt{17-2x}+3)=(x-4)(x^3-4x^2+x-4)`
`⇔(2(x-4))/(\sqrt{2x+1}+3)-(2(x-4))/(\sqrt{17-2x}+3)=(x-4)(x-4)(x^2+1)`
`⇔(x-4)[2/(\sqrt{2x+1}+3)-2/(\sqrt{17-2x}+3)-(x-4)(x^2+1)]=0`
`⇔[(x=4),(2/(\sqrt{2x+1}+3)-2/(\sqrt{17-2x}+3)-(x-4)(x^2+1)=0):}`(*)
Dễ thấy: `2/(\sqrt{2x+1}+3)-2/(\sqrt{17-2x}+3)-(x-4)(x^2+1)>0 (vì -1/2≤x≤17/2)`
`⇒` Phương trình (*) vô nghiệm
Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất `x=4`
