$\dfrac{1}{{{{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}^k}}} = \dfrac{{{{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}^k}{{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}^k}}}{{{{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}^k}}} = {\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^k}$
$\begin{array}{l} \Rightarrow P = {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^k} + \dfrac{1}{{{{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}^k}}}\\ = {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^k} + {\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^k} \end{array}$
Theo khai triển $(x+y)^n$ ta được:
$\begin{array}{l} {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^k} = A + B\sqrt 3 \\ {\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^k} = A - B\sqrt 3 \end{array}$
với $A,B$ là số tự nhiên
Từ đó ta có:
$ \Rightarrow {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^k} + {\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^k} = 2A \in \mathbb{N}$
