`a,` Xét `(O)`, đường kính `AB` có:

`+M\in(O)⇒\hat{AMB}=90^o` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

`⇒BM\botAE⇒\hat{BME}=90^o` Hay `\hat{HME}=90^o` 

`+C\in(O)⇒\hat{ACB}=90^o` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

`⇒AC\botBE⇒\hat{ACE}=90^o` Hay `\hat{HCE}=90^o` 

Xét tứ giác `EMHC` có: `\hat{HME}+\hat{HCE}=90^o``+90^o=180^o`

Mà hai góc này ở vị trí đối nhau

`⇒EMHC` nội tiếp đường tròn đường kính `EH`

`b,` Xét `ΔABE` có:

`BM\botAE` `(cmt)`

`AC\botBE` `(cmt)`

`BM` cắt `AC` tại `H`

`⇒H` là trực tâm của `ΔABE`

`⇒EH\botAB`

`c,` `M` nằm chính giữa $\mathop{AC}\limits^{\displaystyle\frown}$ $(gt)$

`⇒`$\mathop{AM}\limits^{\displaystyle\frown}=\mathop{MC}\limits^{\displaystyle\frown}$

Xét `(O)` có:

`\hat{ABM}=1/2sđ` $\mathop{AM}\limits^{\displaystyle\frown}$ (góc nội tiếp chắn $\mathop{AM}\limits^{\displaystyle\frown}$)

`\hat{MBC}=1/2sđ` $\mathop{MC}\limits^{\displaystyle\frown}$ (góc nội tiếp chắn $\mathop{MC}\limits^{\displaystyle\frown}$)

$\mathop{AM}\limits^{\displaystyle\frown}=\mathop{MC}\limits^{\displaystyle\frown}$ `(cmt)`

`⇒\hat{ABM}=\hat{MBC}`

Xét `ΔAMB` vuông tại `M` `(\hat{AMB}=90^o)` và `ΔEMB` vuông tại `M` `(\hat{AMB}=90^o)` có:

`BM`: cạnh chung

`\hat{ABM}=\hat{MBC}` `(cmt)`

`⇒ΔAMB=ΔEMB` (cạnh góc vuông- góc nhọn)

`⇒AB=EB` (hai cạnh tương ứng)

Xét `ΔABE` có: `AB=EB` `(cmt)`

`⇒ΔABE` cân tại `B`