`1) ` Nếu cho dãy gồm `sin; cos`

`**`Đưa về dạng `sin` nhờ tính chất hai góc phụ nhau

`\qquad cosx=sin(90°-x)`

Ví dụ: `cos70°=sin(90°-70°)=sin20°`

`**` Với các góc `x` tăng từ `0°` đến `90°` (`0<x<90°` ) thì `sinx` tăng

Ví dụ: `sin20°<sin30°`

$\\$

Ví dụ: sắp xếp theo thứ tự từ bé đến lớn:

`\qquad sin10°; cos50°; sin 32°; cos 13°`

Ta có:

`\qquad cos50°=sin(90°-50°)=sin40°`

`\qquad cos13°=sin(90°-13°)=sin77°`

Ta có:

`\qquad sin10°<sin32°<sin40°<sin77°`

`=>sin10°<sin32°<cos50°<cos13°`

Vậy sắp xếp theo thứ tự từ bé đến lớn là:

`\qquad sin10°;sin32°;cos50°;cos13°`

____________

`2)` Nếu dãy gồm `tan; cot`

`**`Đưa về dạng `tan` nhờ tính chất hai góc phụ nhau

`\qquad cotx=tan(90°-x)`

Ví dụ: `cot70°=tan(90°-70°)=tan20°`

`**` Với các góc `x` tăng từ `0°` đến `90°` (`0<x<90°` ) thì `tanx` tăng

Ví dụ:  `tan20°<tan30°`

$\\$

Ví dụ: sắp xếp theo thứ tự từ từ bé đến lớn:

`\qquad tan10°; cot50°; tan 32°; cot 13°`

Ta có:

`\qquad cot50°=tan(90°-50°)=tan40°`

`\qquad cot13°=tan(90°-13°)=tan77°`

Ta có:

`\qquad tan10°<tan32°<tan40°<tan77°`

`=>tan10°<tan32°<tan50°<tan13°`

Vậy sắp xếp theo thứ tự từ bé đến lớn là:

`\qquad tan10°;tan32°;cot50°;cot13°`

____________

`3)` Nếu dãy cho gồm `sin; cos; tan; cot`

`**` Đưa `cos` về `sin`; `cot` về `tan`, rồi so sánh từng phần theo trường hợp `1` và `2`

`**` Đưa về tỉ số lượng giác của các góc bằng để so sánh, sử dụng tính chất với `0°<x<90°`

`\qquad tanx={sinx}/{cosx}`

Vì `0<cosx<1; sinx>0`

`=>{sinx}/{cosx}>{sinx}/1`

`=>tanx>sinx`

Ví dụ: so sánh `tan12°` và `sin12°`

Ta có: `sin12°>0;  0<cos12°<1`

`=>{sin12°}/{cos12°}>{sin12°}/1`

`=>tan12°>sin12°`

$\\$

Ví dụ: sắp xếp theo thứ tự từ bé đến lớn:

`\qquad sin10°; cos10°;  cot10°; tan85°`

Ta có: `cos10°=sin(90°-10°)=sin80°`

`\qquad cot10°=tan(90°-10°)=tan80°`

Ta có: `sin10°<sin80°` $(1)$

$\\$

`\qquad sin80°>0;  0<cos80°<1`

`=>{sin80°}/{cos80°}>{sin80°}/1`

`=>tan80°>sin80°` $(2)$

$\\$

Ta có: `tan80°<tan85°` $(3)$

Từ `(1);(2);(3)=>sin 10°<sin80°<tan80°<tan85°`

`=>sin10°<cos10°<cot10°<tan85°`

Vậy sắp xếp theo thứ tự từ từ bé đến lớn là: 

`\qquad sin10°; cos10°; cot10°;tan85°`

____________

Nếu đề bài sắp xếp theo thứ tự từ lớn đến bé thì làm theo cách trên so sánh từ bé đến lớn trước rồi viết thứ tự ngược lại

Ví dụ: `sin10°; cos10°;  cot10°; tan85°`

Bài trên ta có được:

`\qquad sin10°<cos10°<cot10°<tan85°`

`=>tan85°>cot10°>cos10°>sin10°`

Vậy sắp xếp theo thứ tự từ lớn đến bé là:

`\qquad tan85°;cot10°;cos10°;sin10°`

* Với góc $x$ nhọn, ta có:

$0<\sin x<1$

$0<\cos x<1$

$\tan x>0$

$\cot x>0$

$\sin x=\cos(90^o-x)$, ngược lại

$\tan x=\cot(90^o-x)$, ngược lại 

$x$ tăng thì: $\sin x$ tăng, $\cos x$ giảm, $\tan x$ tăng, $\cot x$ giảm   (*)

Công thức cơ bản:

$\sin^2x+\cos^2x=1$

$\tan x.\cot x=1$

$\dfrac{1}{\cos^2x}=1+\tan^2x$

$\dfrac{1}{\sin^2x}=1+\cot^2x$

* So sánh tỉ số lượng giác:

1. Cho hàng loạt $\sin$, $\cos$ (hoặc $\tan$, $\cot$) của các góc: đưa về cùng một loại (cùng $\sin$ hoặc cùng $\cos $ hoặc $\tan$ hoặc $\cot$) rồi cùng (*) để so sánh, kết luận

VD: so sánh $\sin10^o; \cos20^o; \sin60^o; \cos75^o$

Ta có: $\cos20^o=\sin70^o$; $\cos75^o=\sin15^o$

Ta có $10^o<15^o<60^o<70^o$ nên $\sin10^o<\sin15^o<\sin60^o<\sin70^o$

Vậy $\sin10^o<\cos75^o<\sin60^o<\cos20^o$

2. Dạng khác:

VD: so sánh $\sin40^o$ và $\tan40^o$

Ta có $\tan40^o=\dfrac{\sin40^o}{\cos40^o}$

Ta có $0<\cos 40^o<1$ nên $\dfrac{1}{\cos 40^o}> 1$ 

Vậy $\sin40^o<\tan40^o$