Vì $a$ là số nguyên lẻ nên $a\ne 0$ nên phương trình này là phương trình bậc hai
Phương trình có nghiệm khi $\Delta\ge 0\Rightarrow b^2-4ac\ge 0$
Lúc này phương trình có nghiệm dạng:
$\left[ \begin{array}{l} {x_1} = \dfrac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}}\\ {x_2} = \dfrac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}} \end{array} \right.$
Để phương trình có nghiệm là số hữu tỉ thì $\Delta$ là số chính phương do các hệ số $a,b,c$ là số nguyên lẻ.
$\Rightarrow b^2$ là số nguyên lẻ.
$\begin{array}{l} b = 2k + 1 \Rightarrow {b^2} = {\left( {2k + 1} \right)^2}\\ = 4{k^2} + 4k + 1\\ = 4k\left( {k + 1} \right) + 1 \equiv 1\left( {\bmod 8} \right) \end{array}$
Vậy với mọi số chính phương lẻ chia $8$ dư 1
Từ đó ta đặt được $b^2=8k+1(k\in \mathbb{Z})$
Vì $a,c$ là số nguyên lẻ nên $ac$ lẻ
Đặt $ac=2u-1$ thì:
$\begin{array}{l} \Delta = {b^2} - 4ac = 8k + 1 - 4\left( {2u - 1} \right) = 8k - 8u + 5\\ = 8\left( {k - u} \right) + 5 \equiv 5\left( {\bmod 8} \right) \end{array}$
Mà theo bổ đề trên thì mọi số nguyên lẻ chia $8$ dư 1 nên ta có $\Delta$ không là số chính phương từ đó $\sqrt{\Delta}$ là số vô tỉ nên phương trình có nghiệm không thể là số hữu tỉ.
