Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là $(d)$ : $y$ = $ax$ + $b$.
phương trình đường thẳng $OA$ có dạng $y$ = $a'x$ + $b'$.
+) Vì đường thẳng $OA$ đi qua điểm $A(-1;\sqrt[]{2} )$ nên thay $x=-1$; $y=\sqrt[]{2}$ vào phương trình đường thẳng $OA$ ta có:
$\sqrt[]{2}$ = $a'.-1$ + $b'$
⇔ $b'$ = $a'$ + $\sqrt[]{2}$. (1)
+) Vì đường thẳng $OA$ đi qua điểm gốc tọa độ $O(0;0)$ nên thay $x=0$; $y=\sqrt[]{0}$ vào phương trình đường thẳng $OA$ ta có:
$0$ = $a'0$ + $b'$
⇔ $b'$ = $0$.
(1) ⇔ $0$ = $a'$ + $\sqrt[]{2}$
⇔ $a'$ = $-\sqrt[]{2}$.
Vậy phương trình đường thẳng $OA$ có dạng $y$ = $-;\sqrt[]{2}.x$.
+) Vì đường thẳng $(d)$ đi qua điểm $M(;\sqrt[]{2};2)$ nên thay $x$ = $\sqrt[]{2}$; $y$ = $2$ vào phương trình đường thẳng $(d)$ ta có:
$2$ = $a.\sqrt[]{2}$ + $b$
⇔ $b$ = $2$ - $a.\sqrt[]{2}$.(2)
+) Vì đường thẳng $(d)$ song song với đường thẳng $OA$ nên ta có:
⇔$\left \{ {{a=-\sqrt[]{2}} \atop {b\neq0}} \right.$
(2)⇔$2$ = $-\sqrt[]{2}.\sqrt[]{2}$ + $b$
⇔$2$ = $-2$ + $b$
⇔$b$ = $4$.
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm có dạng $y$ = $-\sqrt[]{2}.a$ + $4$.
$@Shun-$
