`a)`$G$ là giao điểm hai trung tuyến $BD;CE$
`=>E;D` lần lượt là trung điểm $AB;AC$
`=>BE={AB}/2; CD={AC}/2`
`\qquad G` là trọng tâm $∆ABC$
`=>BG=2GD; CG=2GE`
$\\$
$BD\perp CE$ tại $G$ (gt)
`=>∆BGE` vuông tại $G$
`=>BE^2=GE^2+BG^2` (định lý Pytago)
`=>({AB}/2)^2=GE^2+BG^2`
`=>AB^2=4GE^2+4BG^2=(2GE)^2+4BG^2`
`=CG^2+4BG^2`
$\\$
Xét $∆CDG$ vuông tại $G$
`=>CD^2=CG^2+GD^2` (định lý Pytago)
`=>({AC}/2)^2=CG^2+GD^2`
`=>AC^2=4CG^2+4GD^2=4CG^2+(2GD)^2`
`=4CG^2+BG^2`
$\\$
`=>AB^2+AC^2=CG^2+4BG^2+4CG^2+BG^2`
`=5(BG^2+CG^2)` $(1)$
$\\$
Xét $∆BCG$ vuông tại $G$
`=>BC^2=BG^2+CG^2` $(2)$ (định lý Pytago)
$\\$
Từ `(1);(2)=>AB^2+AC^2=5BC^2` (đpcm)
$\\$
`b)` Vẽ $AH\perp BC$ tại $H$; $GK\perp BC$ tại $K$
$\\$
Gọi $M$ là trung điểm $BC$
`=>AM` là trung tuyến $∆ABC$
`=>{GM}/{AM}=1/ 3`
$\\$
Ta có $GM$ là trung tuyến $∆BCG$ vuông tại $G$
`=>GM={BC}/2` (tính chất trung tuyến ∆ vuông)
$\\$
+) Nếu $M≡K$
`=>GM=GK`
+) Nếu $M\ne K$
`=>GM>GK` (đường xiên > đường vuông góc)
`=>GM\ge GK`
`=>{BC}/2\ge GK` $(3)$
$\\$
Xét $∆AMH$ có $GK$//$AH$ (cùng $\perp BC$)
`=>{GK}/{AH}={GM}/{AM}=1/ 3` (hệ quả định lý Talet)
`=>GK=1/3AH` $(4)$
$\\$
Từ `(3);(4)=>{BC}/2\ge 1/3AH`
`=>2 . {BC}/2\ge 2/3 AH=>BC\ge 2/3AH`
$\\$
Xét $∆ABH$ vuông tại $H$
`=> cotB={BH}/{AH}`
Xét $∆ACH$ vuông tại $H$
`=>cotC={CH}/{AH}`
`=>cotB+cotC={BH}/{AH}+{CH}/{AH}={BH+CH}/{AH}={BC}/{AH}\ge {2/3 AH}/{AH}=2/3`
Dấu "=" xảy ra khi $M≡K$
`=>GM`$\perp BC$
Mà $A;G;M$ thẳng hàng
`=>AM`$\perp BC$
`=>AM` vừa đường trung tuyến và đường cao $∆ABC$
`=>∆ABC` cân tại $A$
$\\$
Vậy `cotB+cotC\ge 2/3` (đpcm)
