a)
$\widehat{BAI}=\widehat{DAI}$ (phân giác)
$\widehat{BIA}=\widehat{DAI}$ (so le trong)
$\Rightarrow \widehat{BAI}=\widehat{BIA}$
$\Rightarrow \Delta BAI$ cân tại $B$
$\Rightarrow BA=BI$
b)
$\widehat{DCH}=\widehat{BCH}$ (phân giác)
$\widehat{DHC}=\widehat{BCH}$ (so le trong)
$\Rightarrow \widehat{DCH}=\widehat{DHC}$
$\Rightarrow \Delta DCH$ cân tại $D$
$\Rightarrow DC=DH$
Có $BA=BI\,\,,\,\,DC=DH$
Mà $BA=DC$
$\Rightarrow BI=DH$
Mà $BC=DA$
$\Rightarrow CI=AH$
Lại có $CI//AH$
$\Rightarrow AICH$ là hình bình hành
c)
$\Delta BAI$ cân tại $B$ có $BE$ đường cao
$\Rightarrow BE$ cũng là đường trung tuyến
$\Rightarrow E$ là trung điểm $AI$
$\Rightarrow OE$ là đường trung bình $\Delta ACI$
$\Rightarrow OE//AD\Rightarrow ADEO$ là hình thang
d)
$ABCD$ là hình bình hành
Có $O$ trung điểm $AC$ nên $O$ cũng là trung điểm $BD$
$AICH$ là hình bình hành
Có $O$ trung điểm $AC$ nên $O$ cũng là trung điểm $IH$
Do $AICH$ là hình bình hành $\Rightarrow AI//CH$
Mà $BE\bot AI,DF\bot CH\Rightarrow BE//DF$ $\left( 1 \right)$
Xét $\Delta IBE$ vuông tại $E$ và $\Delta HDF$ vuông tại $F$,có:
$IB=HD$(cmt)
$\widehat{BIE}=\widehat{DHF}$ ($AICH$ là hình bình hành)
$\Rightarrow \Delta IBE=\Delta HDF$
$\Rightarrow BE=DF$ $\left( 2 \right)$
$\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$$\Rightarrow BEDF$ là hình bình hành
Có $O$ trung điểm $BD$ nên $O$ cũng là trung điểm $EF$
Vậy $O$ vừa là trung điểm $AC,BD,IH,EF$
$\Rightarrow AC,BD,IH,EF$ đồng quy tại $O$
