Đáp án:

a) Phương trình có nghiệm kép thì:

$\begin{array}{l}
\Delta ' = 0\\
 \Leftrightarrow {\left( {m - 1} \right)^2} + m + 1 = 0\\
 \Leftrightarrow {m^2} - 2m + 1 + m + 1 = 0\\
 \Leftrightarrow {m^2} - m + 2 = 0\\
 \Leftrightarrow {\left( {m - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{7}{4} = 0\left( {ktm} \right)
\end{array}$

Vậy ko có m thỏa mãn để pt có nghiệm kép

b) Phương trình có 1 nghiệm bằng 1:

$\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow {1^2} + 2\left( {m - 1} \right).1 - \left( {m + 1} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow 1 + 2m - 2 - m - 1 = 0\\
 \Leftrightarrow m = 2\\
Khi:m = 2\\
 \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 3 = 0\\
 \Leftrightarrow {x^2} + 3x - x - 3 = 0\\
 \Leftrightarrow \left( {x + 3} \right)\left( {x - 1} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow x =  - 3\\
Vay\,x =  - 3;m = 2
\end{array}$

c) Pt có 2 nghiệm trái dấu thì:

$\begin{array}{l}
1.\left[ { - \left( {m + 1} \right)} \right] < 0\\
 \Leftrightarrow m + 1 > 0\\
 \Leftrightarrow m >  - 1\\
Vay\,m >  - 1\\
d)\Delta ' > 0\\
 \Leftrightarrow {\left( {m - 1} \right)^2} + m + 1 > 0\left( {tm} \right)\\
Theo\,Viet:\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} =  - 2\left( {m - 1} \right)\\
{x_1}{x_2} =  - \left( {m + 1} \right)
\end{array} \right.\\
{x_1} = 2{x_2}\\
 \Leftrightarrow 3{x_2} =  - 2\left( {m - 1} \right)\\
 \Leftrightarrow {x_2} = \dfrac{{2 - 2m}}{3}\\
Do:{x_1}.{x_2} =  - \left( {m + 1} \right)\\
 \Leftrightarrow 2x_2^2 =  - \left( {m + 1} \right)\\
 \Leftrightarrow 2.{\left( {\dfrac{{2 - 2m}}{3}} \right)^2} =  - \left( {m + 1} \right)\\
 \Leftrightarrow \dfrac{8}{9}.{\left( {m - 1} \right)^2} =  - m - 1\\
 \Leftrightarrow 8{m^2} - 16m + 8 =  - 9m - 9\\
 \Leftrightarrow 8{m^2} - 7m + 17 = 0\left( {vn} \right)
\end{array}$

Vậy ko có m thỏa mãn yêu cầu