Đáp án:
GTNN $P = \frac{2}{3}$
GTLN $P = 1$
Giải thích các bước giải:
$P = \frac{x^{2}}{2-x^{2}} + \frac{1-x^{2}}{1+x^{2}}$
⇔ $P = \frac{-(2-x^{2})+2}{2-x^{2}} + \frac{-(1+x^{2})+2}{1+x^{2}}$
⇔ $P = -1 + \frac{2}{2-x^{2}} - 1 + \frac{2}{1+x^{2}}$
⇔ $P = -2 + \frac{2}{2-x^{2}} + \frac{2}{1+x^{2}}$
⇔ $P = -2 + \frac{2(1+x^{2}+2-x^{2})}{(2-x^{2})(1+x^{2})}$
⇔ $P = -2 + \frac{6}{2+x^{2}-x^{4}}$
Ta co : $2 + x^{2} - x^{4} = - ( x^{4} - x^{2} + \frac{1}{4} ) + \frac{9}{4}$
⇔ $2 + x^{2} - x^{4} = - ( x^{2} - \frac{1}{2} )^{2} + \frac{9}{4} ≤ \frac{9}{4}$
( do $ - ( x^{2} - \frac{1}{2} )^{2} ≤ 0$ với $∀ 0 ≤ x ≤ 1$ )
⇒ $\frac{6}{2+x^{2}-x^{4}} ≥ 6 : \frac{9}{4}$
⇔ $\frac{6}{2+x^{2}-x^{4}} ≥ \frac{8}{3}$
⇒ $P ≥ -2 + \frac{8}{3}$
⇔ $P ≥ \frac{2}{3}$
Dấu "=" xảy ra ⇔ $x^{2} = \frac{1}{2} ⇒ x = \frac{\sqrt[]{2}}{2}$ ( do $0 ≤ x ≤ 1$ )
Ta co : $0 ≤ x ≤ 1 < \sqrt[]{2}$
⇒ $\sqrt[]{2} - x > 0$
⇒ $( \sqrt[]{2} - x )( \sqrt[]{2} + x ) > 0$
⇔ $2 - x^{2} > 0$
⇒ $( 2 - x^{2} )( 1 + x^{2} ) > 0 ⇔ 2+x^{2}-x^{4} > 0$
Ta di chung minh : $-2 + \frac{6}{2+x^{2}-x^{4}} ≤ 1$
⇔ $\frac{6}{2+x^{2}-x^{4}} ≤ 3$
⇔ $\frac{2}{2+x^{2}-x^{4}} ≤ 1$
⇔ $2 ≤ 2 + x^{2} - x^{4}$
⇔ $x^{4} - x^{2} ≤ 0$
⇔ $x^{2}( x^{2} - 1 ) ≤ 0$
⇔ $x^{2}( x - 1 )( x + 1 ) ≤ 0$ ( luôn đúng với $∀ 0 ≤ x ≤ 1$ )
⇒ $P ≤ 1$
Dấu "=" xảy ra ⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x=0\\x=1\end{array} \right.\)