`a,` Xét `(O)` có:
`+Mx, QP` là hai tiếp tuyến cắt nhau tại `Q`
`M,I` là hai tiếp điểm
`⇒QM=QI,QO` là phân giác `\hat{IQM}` `,OQ` là phân giác `\hat{IOM}` (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
`+Ny, QP` là hai tiếp tuyến cắt nhau tại `P`
`N,I` là hai tiếp điểm
`⇒PN=PI,PO` là phân giác `\hat{IPN}` `,OP` là phân giác `\hat{ION}` (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Có `PQ=PI+IQ`
Mà `QM=QI` `(cmt)` `,PN=PI` `(cmt)`
`⇒PQ=MQ+NP`
`b,` Xét `(O)` có: `PQ` là tiếp tuyến, `I` là tiếp điểm
`⇒OI\botPQ` `⇒\hat{OIQ}=\hat{OIP}=90^o`
`OQ` là phân giác `\hat{IOM}` `(cmt)`
`OP` là phân giác `\hat{ION}` `(cmt)`
Mà `\hat{IOM}` và `\hat{ION}` là hai góc kề bù
`⇒OQ\botOP`
`⇒\hat{QOP}=90^o` Hay `\hat{AOB}=90^o`
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong `ΔOQP` vuông tại `O` `(\hat{QOP}=90^o)` `,OI\botPQ` `(cmt)` có: `OI^2=QI.IP`
Mà `OI=R` `,QM=QI` `(cmt)` `,PN=PI` `(cmt)`
`⇒QM.PN=R^2`
`c,` Xét `ΔQMI` có: `QM=QI` `(cmt)`
`⇒ΔQMI` cân tại `Q`
Mà `QO` là phân giác `\hat{IQM}` `(cmt)`
`⇒QO` là trung trực của `IM`
`⇒QO\botIM,` `A` là trung điểm của `IM`
Xét `ΔPNI` có: `PN=PI` `(cmt)`
`⇒ΔPNI` cân tại `P`
Mà `PO` là phân giác `\hat{IPN}` `(cmt)`
`⇒PO` là trung trực của `IN`
`⇒PO\botIN,` `B` là trung điểm của `IN`
Có `QO\botIM` `(cmt)` `⇒\hat{IAO}=90^o`
`PO\botIN` `(cmt)` `⇒\hat{IBO}=90^o`
Xét tứ giác `AIBO` có:
`\hat{AOB}=90^o` `(cmt)`
`\hat{IAO}=90^o` `(cmt)`
`\hat{IBO}=90^o` `(cmt)`
`⇒` Tứ giác `AIBO` là hình chữ nhật
`⇒` `AB=IO=R`
Xét `ΔIMN` có:
`A` là trung điểm của `IM` `(cmt)`
`B` là trung điểm của `IN` `(cmt)`
`⇒AB` là đường trung bình của `ΔMIN`
`⇒AB`$//$`MN,AB=1/2MN`
`d,` Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong `ΔOIQ` vuông tại `I` `(\hat{OIQ}=90^o)` `,IA\botOQ` `(OQ\botIM)` có: `OI^2=OA.OQ`
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong `ΔOIP` vuông tại `I` `(\hat{OIP}=90^o)` `,IB\botOP` `(OP\botIN)` có: `OI^2=OB.OP`
`⇒OA.OQ=OB.OP`
Xét `(O)`, đường kính `MN` có: `I\in(O)`
`⇒\hat{MIN}=90^o` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Hay `\hat{AIB}=90^o`
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong `ΔOIQ` vuông tại `I` `(\hat{OIQ}=90^o)` `,IA\botOQ` `(OQ\botIM)` có: `IA^2=OA.AQ`
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong `ΔOIP` vuông tại `I` `(\hat{OIP}=90^o)` `,IB\botOP` `(OP\botIN)` có: `IB^2=OB.BP`
Áp dụng định lý Pytago trong `ΔIAB` vuông tại `I` `(\hat{AIB}=90^o)` có:
`AB^2=IA^2+IB^2`
Mà `IA^2=OA.AQ` `(cmt)` `,IB^2=OB.BP` `(cmt)`
`⇒OA.AQ+OB.BP=AB^2`
Có `AB=1/2MN` `(cmt)`
Mà `MN` không đổi
`⇒AB` không đổi
`⇒AB^2` không đổi
`⇒OA.AQ+OB.BP` không đổi
Vậy `OA.AQ+OB.BP` không đổi khi `I` di chuyển trên nửa đường tròn `(O;R)`
