`a)`
Vì `ABCD` là hình bình hành
`⇒OA=OC(` tính chất hình bình hành `)`
`OB=OD(` tính chất hình bình hành `)`
Ta có:`OB=ON+BN`
`OD=OM+DM`
Mà `OB=OD(cmt)`
`ON=BN(g``t)`
`OM=DM(g``t)`
`⇒ON=BN=OM=DM`
Xét tứ giác `AMCN` có:
`OA=OC(cmt)`
`OM=ON(cmt)`
`⇒` tứ giác `AMCN` là hình bình hành `(` tứ giác có `2` đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành `)(đpcm)`
`b)`
Vì `ABCD` là hình bình hành
`⇒AB=CD(` tính chất hình bình hành `)`
Mà `F∈AB,E∈CD`
`⇒AF////CE`
Vì `AMCN` là hình bình hành
`⇒AM////CN(` tính chất hình bình hành `)`
Mà `E∈AM,F∈CN`
`⇒AE////CF`
Xét tứ giác `AECF` có:
`AF////CE(cmt)`
`AE////CF(cmt)`
`⇒` tứ giác `AECF` là hình bình hành `(` tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành `)`
`⇒AC` cắt `EF` tại trung điểm `O` của `AC(` tính chất hình bình hành `)`
`⇒E,O,F` thẳng hàng `(đpcm)`
`c)`
Lấy `G∈EC` sao cho `G` là trung điểm của `EC`
`⇒EG=1/2EC`
Xét `ΔACE` có:
`OA=OC(cmt)`
`EG=CG(g``t)`
`⇒OG` là đường trung bình của `ΔACE`
`⇒OG////AE(` tính chất đường trung bình của `Δ)`
Mà `M∈AE`
`⇒OG////ME`
Xét `ΔDOG` có:
`OG////ME(cmt)`
`OM=DM(g``t)`
`⇒DE=EG`
Mà `EG=1/2EC(cmt)`
`⇒DE=1/2EC(đpcm)`
