`a)\triangleABC` có `AB` là đường kính nên `\triangleABC` vuông tại `C`
`=>\hat{ACB}=90^o`
Tương tự`: \hat{CBD}=90^o` và `\hat{ADB}=90^o`
Xét tứ giác `ACBD` có`: \hat{ACB}=\hat{CBD}=\hat{ADB}=90^o`
`=>`Tứ giác `ACBD` là hình chữ nhật
`b)BP\botAB`
`=>\triangleABP` vuông tại `B`
`=>\hat{BAP}+\hat{ABP}=90^o(`phụ nhau`)` mà `\hat{ABC}+\hat{BAC}=90^o(`phụ nhau`)`
`=>\hat{APB}=\hat{ABC}(**)`
`OB=OC=R`
`=>\triangleOBC` cân tại `O`
`=>\hat{OBC}=(180^o-\hat{BOC})/2(1)`
`OA=OD=R`
`=>\triangleOAD` cân tại `O`
`=>\hat{ODA}=(180^o-\hat{AOD})/2(2)`
`\hat{BOC}=\hat{AOD}(`đối đỉnh`)(3)`
Từ `(1), (2)` và `(3)=>\hat{OBC}=\hat{ODA}(** **)`
Từ `(**)` và `(** **)=>\hat{APQ}=\hat{ODA}` hay `\hat{APQ}=\hat{ADC}`
`c)`Gọi giao điểm của `BC` và `OK` là `E`
Gọi giao điểm của `BD` và `OH` là `F`
Theo `a: \hat{ACB}=90^o` hay `\hat{BCP}=90^o`
`=>\triangleBCP` vuông tại `C` có`: BK=PK(K` là trung điểm `BP)`
`=>CK` là đường trung tuyến
`=>CK=BK`
Xét `\triangleOBK` và `\triangleOCK` có:
`OB=OC`
`BK=CK`
`OK` chung
`=>\triangleOBK=\triangleOCK(c.c.c)`
`=>\hat{OCK}=\hat{OBK}=90^o`
`=>CK\botOC` hay `CK\botCD(** ** **)`
`BK=CK` và `OB=OC`
`=>OK` là đường trung trực của `BC`
`=>OK\botBC` tại `E`
`=>\hat{OEB}=90^o`
`OH\botOK`
`=>\hat{HOK}=90^o` hay `\hat{EOF}=90^o`
Theo `a: \hat{CBD}=90^o` hay `\hat{EBF}=90^o`
Xét tứ giác `OEBF` có`: \hat{EOF}=\hat{OEB}=\hat{EBF}=90^o`
`=>`Tứ giác `OEBF` là hình chữ nhật
`=>\hat{OBF}=90^o`
`=>OF\botBF` hay `OF\botBD`
`OB=OD=R`
`=>\triangleOBD` cân tại `O` nên đường cao `OF` cũng là đường phân giác
`=>\hat{BOF}=\hat{DOF}` hay `\hat{BOH}=\hat{DOH}`
Xét `\triangleOBH` và `\triangleODH` có:
`OB=OD`
`\hat{BOH}=\hat{DOH}`
`OH` chung
`=>\triangleOBH=\triangleODH(c.g.c)`
`=>\hat{ODH}=\hat{OBH}=90^o`
`=>DH\botOD` hay `DH\botCD(** ** ** **)`
Từ `(** ** **)` và `(** ** ** **)=>CK////DH`
