Với mọi `a;b>0` ta có:
`\qquad (a-b)^2\ge 0`
`<=>a^2+b^2\ge 2ab`
`<=>a^2+2ab+b^2\ge 4ab`
`<=>(a+b)^2\ge 4ab`
`<=>{(a+b)^2}/{ab(a+b)}\ge {4ab}/{ab(a+b)}`
`<=>{a+b}/{ab}\ge 4/{a+b}`
`<=>a/{ab}+b/{ab}\ge 4/{a+b}`
`<=>1/b+1/a\ge 4/{a+b}` $(1)$
$\\$
Áp dụng BĐT Cosi với hai số dương `x;y` ta có:
`\qquad x+y\ge 2\sqrt{xy}`
`<=>({x+y}/2)^2\ge xy` $(2)$
Vì `x+y\le 1`
`=>(x+y)^2\le 1`
`=>({x+y}/2)^2\le 1/4` $(3)$
Từ `(2);(3)=>xy\le 1/4`
`=>1/{xy}\ge 1/{1/4}=4`
$\\$
`\qquad 1/{x^2+y^2}+{2020}/{xy}`
`=1/{x^2+y^2}+1/{2xy}+{4039}/{2xy}`
`\ge 4/{x^2+y^2+2xy}+{4039}/2 . 4` (áp dụng `(1)` và `1/{xy}\ge 4`)
`\ge 4/{(x+y)^2}+8078`
`\ge 4/1+8078=8082`
Dấu "=" xảy ra khi `x=y=1/2`
Vậy `1/{x^2+y^2}+{2020}/{xy}\ge 8082`
