$∆ABC$ có $H$ là trực tâm và $BE;CF$ là hai đường cao
`=>BE` cắt $CF$ tại $H$
`\qquad \hat{AEH}=\hat{AFH}=90°`
$\\$
Gọi $I$ là trung điểm $AH$
`=>EI;FI` lần lượt là trung tuyến của hai tam giác vuông $∆AEH; ∆A FH$
`=>EI=AI=HI=1/ 2 AH=FI`
`=>AI=EI=HI=FI`
`=>A;E;H;F` cùng thuộc đường tròn tâm `I` đường kính $AH$ (đpcm)
$\\$
`b)` Vì $O$ là trung điểm $BC$
`=>EO` là trung tuyến $∆EBC$ vuông tại $E$
`=>EO=BO=1/ 2 BC`
`=>∆OBE` cân tại $O$
`=>\hat{OEB}=\hat{EBO}=\hat{EBC}` $(1)$
$\\$
Vì `AI=EI` (câu a)
`=>∆IAE` cân tại $I$
`=>\hat{IAE}=\hat{IEA}`
`=>\hat{DAC}=\hat{IEA}` $(2)$
$\\$
Ta có: `\hat{DAC}=\hat{EBC}` (cùng phụ `\hat{ECB}`)
Từ`(1);(2)=>\hat{IEA}=\hat{OEB}`
Ta có:
`\qquad \hat{AEH}=90°`
`=>\hat{IEA}+\hat{IEH}=90°`
`=>\hat{OEB}+\hat{IEH}=90°`
`=>\hat{OEI}=90°`
`=>OE`$\perp IE$ $(3)$
Vì `IE=1/ 2 AH=>IE` là bán kính của đường tròn `(I)` $(4)$
Từ `(3);(4)=>OE` là tiếp tuyến tại `E` của đường tròn `(I)`
