$y=f(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d}$
Xét $x_1<x_2$ trên từng khoảng xác định
$T=\dfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}$
$=\dfrac{ \dfrac{ax_1+b}{cx_1+d}-\dfrac{ax_2+b}{cx_2+d}}{x_1-x_2}$
$=\dfrac{ (ax_1+b)(cx_2+d)-(ax_2+b)(cx_1+d) }{(x_1-x_2)(cx_2+d)(cx_2+d)}$
$=\dfrac{ acx_1x_2+adx_1+bcx_2+bd -(acx_1x_2+adx_2+bcx_1+bd) }{(x_1-x_2)(cx_1+d)(cx_2+d)}$
$=\dfrac{ ad(x_1-x_2)+bc(x_2-x_1)}{(x_1-x_2)(cx_1+d)(cx_2+d)}$
$=\dfrac{ad-bc}{(cx_1+d)(cx_2+d)}$
Dễ thấy $(cx_1+d)(cx_2+d)>0$ khi $x_1<x_2\in \left(-\infty;\dfrac{-d}{c}\right)$ hoặc $\left(\dfrac{-d}{c};+\infty\right)$
$\to$ dấu của $T$ chỉ phụ thuộc vào hệ số $a, b, c, d$
Vậy hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên từng khoảng xác định
