a) Xét tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH có:
AH² = BH.HC (Hệ thức lượng trong tam giác vuông)
6² = 3.HC (Thay số)
HC = 12
Có: BH + HC = BC (Tính chất cộng đoạn thẳng)
3 + 12 = BC (Thay số)
BC = 15
Có: AH là đường cao của tam giác ABC nên
⇒ AH⊥BC tại H
⇒ Góc AHB = Góc AHC = 90 độ
⇒ Tam giác AHB vuông tại H
Tam giác AHC vuông tại H
Xét tam giác AHB vuông tại H (cmt) có
AB² = AH² + BH² (Định lý Py-ta-go)
AB² = 6² + 3² (Thay số)
AB² = 45
⇒ AB = 3$\sqrt{5}$
Xét tam giác ABC vuông tại A, có:
cos ABC = $\frac{AB}{BC}$ (Tỉ số lượng giác)
cos ABC = $\frac{3\sqrt{5}}{15}$ (Thay số)
⇒ Góc ABC ≈ 63,43 độ
b) Có: KB⊥BC tại B (gt) nên ⇒ Góc KBC = 90 độ hay góc EBH = 90 độ
AE⊥KB tại E (gt) nên ⇒ Góc AEK = góc AEB = 90 độ
Xét tứ giác EAHB, có:
Góc AEB = Góc EBH = góc AHB = 90 độ
⇒ EAHB là hình chữ nhật (dhnb)
⇒ EH = AB (Tính chất hình chữ nhật)
Góc EAH = 90 độ (Tính chất hình chữ nhật) ⇒ Tam giác AEH vuông tại A
Có: Tam giác ABC vuông tại A (gt) nên:
⇒ BA⊥AC tại A hay BA⊥KC tại A
⇒ BA là đường cao trong tam giác KBC
Xét tam giác KBC vuông tại B (Góc KBC = 90 độ), đường cao AB (cmt) có:
AB² = KA.KC (Hệ thức lượng trong tam giác vuông)
EH² = AK.KC (AB = EH - cmt) (1)
Có: BA⊥CK tại A (gt) nên ⇒ Góc BAK = 90 độ ⇒ Tam giác KAB vuông tại A
Xét tam giác KAB vuông tại A (cmt), đường cao AE (AE⊥KB tại E) có:
KE.KB = AE² (Hệ thức lượng trong tam giác vuông) (2)
Xét tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH (gt) có:
HB.HC = AH² (Hệ thức lượng trong tam giác vuông) (3)
Xét tam giác AEH vuông tại A (cmt) có:
AE² + AH² = EH² (ĐỊnh lý Py-ta-go) (4)
Từ (1)(2)(3)(4) ⇒ KE.KB + HB.HC = AK.KC (đpcm)
