$\\$
`a,`
`\triangle ABD` có :
$\begin{cases} \text{Q là trung điểm của AD (gt)}\\\text{M là trung điểm của AB (gt)}\end{cases}$
`=>QM` là đường trung bình của `\triangle ABD`
`=>` $\begin{cases} QM//BD\\QM=\dfrac{1}{2}BD\end{cases}$
`\triangle BCD` có :
$\begin{cases} \text{N là trung điểm của BC (gt)}\\\text{P là trung điểm của CD (gt)}\end{cases}$
`=>NP` là đường trung bình của `\triangle ABD`
`=>` $\begin{cases} NP//BD\\NP=\dfrac{1}{2}BD \end{cases}$
$\begin{cases} QM//BD\\NP//BD \end{cases}$ (cmt)
`=>` $QM//NP$
$\begin{cases} QM=\dfrac{1}{2}BD\\NP=\dfrac{1}{2}BD\end{cases}$ (cmt)
`=>QM=NP`
Tứ giác `MNPQ` có : $\begin{cases} QM=NP\\QM//NP \end{cases}$ (cmt)
`<=>MNPQ` là hình bình hành
`I` là giao của `MP,QN (1)`
`=>I` là trung điểm của `MP,QN`
`\triangle ABC` có : $\begin{cases} \text{M là trung điểm của AB (gt)}\\\text{R là trung điểm của AC (gt)}\end{cases}$
`=>MR` là đường trung bình của `\triangle ABC`
`=>` $\begin{cases} MR//BC\\MR=\dfrac{1}{2}B C \end{cases}$
`\triangle BCD` có : $\begin{cases} \text{S là trung điểm của BD (gt)}\\\text{P là trung điểm của CD (gt)} \end{cases}$
`=>SP` là đường trung bình của `\triangle BCD`
`=>` $\begin{cases} SP//BC\\SP=\dfrac{1}{2}BC \end{cases}$
$\begin{cases} MR//BC\\SP//BC \end{cases}$ (cmt)
`=>` $MR//SP$
$\begin{cases} MR=\dfrac{1}{2}BC\\SP=\dfrac{1}{2}BC \end{cases}$ (cmt)
`=>` $MR=SP$
Tứ giác `MRPS` có : $\begin{cases} MR//SP\\MR=SP \end{cases}$ (cmt)
`<=>MRPS` là hình bình hành
Mà `I` là trung điểm của `MP` (cmt)
`=>I` là trung điểm của `RS`
`=> RS` đi qua `I(2)`
`(1)(2)=>MP,NQ,RS` đồng quy tại `I`
`b,`
Gọi `E` là trung điểm của `A'C`
$\triangle AA'C$ có : $\begin{cases} \text{E là trung điểm của A'C (cách gọi)}\\\text{R là trung điểm của AC (gt)}\end{cases}$
`=>RE` là đường trung bình của $\triangle AA'C$
`=>` $\begin{cases} RE//AA'\\RE=\dfrac{1}{2}AA'\end{cases}$
`A'` là trọng tâm của `\triangle BCD` (gt)
`=> SA'=1/2 A'C` mà `A'E=1/2 A'C` (Cách gọi)
`=>SA'=A'E` mà `S,A',E` thẳng hàng
`=>A'` là trung điểm của `SE`
`\triangle SRE` có : $\begin{cases} \text{A' là trung điểm của SE (cmt)}\\\text{I là trung điểm của SR (cmt)}\end{cases}$
`=>A'I` là đường trung bình của `\triangle SRE`
`=>` $\begin{cases} A'I//RE\\A'I=\dfrac{1}{2}RE\end{cases}$
$\begin{cases} A'I//RE\\AA'//RE\end{cases}$ (cmt)
`=>`$A'I≡AA'$
`=> A,I,A'` thẳng hàng hay `AI` đi qua trọng tâm `A'` của `\triangle BCD`
$RE=\dfrac{1}{2} AA', A'I =\dfrac{1}{2} RE$ (cmt)
`=>` $\dfrac{1}{2} RE=\dfrac{1}{4}AA'$
`=>` $A'I= \dfrac{1}{4} AA'$
`=>` $4A'I = AA'$
`IA+A'I` $=AA'$
`=>` $IA+ A'I=4A'I$
`=> IA=3A'I`
`c,`
Chứng minh tương tự như câu `b,` ta được :
$\begin{cases} \text{DD' đi qua I}\\\text{CC' đi qua I}\\\text{BB' đi qua I}\\ID'=\dfrac{1}{4}DD'\\IC'=\dfrac{1}{4}CC'\\IB'=\dfrac{1}{4}BB' \end{cases}$
$\begin{cases} \text{AA' đi qua I (cmt)}\\\text{BB' đi qua I (cmt)}\\\text{CC' đi qua I (cmt)}\\\text{DD' đi qua I (cmt)} \end{cases}$
`=>` $AA',BB',CC',DD'$ cắt nhau tại `I` (*)
$\begin{cases} IA'=\dfrac{1}{4}AA'(cmt)\\IB'=\dfrac{1}{4}BB'(cmt)\\IC'=\dfrac{1}{4}CC'\\ID'=\dfrac{1}{4}DD' \end{cases}$ `<=>` $\begin{cases} \dfrac{IA'}{AA'}=\dfrac{1}{4}\\\dfrac{IB'}{BB'}=\dfrac{1}{4}\\\dfrac{IC'}{CC'}=\dfrac{1}{4}\\\dfrac{ID'}{DD'}=\dfrac{1}{4} \end{cases}$
`=>` $\dfrac{IA'}{AA'}=\dfrac{IB'}{BB'}=\dfrac{IC'}{CC'}=\dfrac{ID'}{DD'}=\dfrac{1}{4}$
`=>I` chia đoạn $AA',BB',CC',DD'$ theo cùng 1 tỉ số (**)
(*)(**) `=>` Điều phải chứng minh.
