$z = f(x,y) = x^3 + y^2 + 12xy +4$

a) Với $y= -4$ ta được:

$z = f(x) = x^3 - 48x + 20$

$\bullet\quad z' = f'(x)= 3x^2 - 48$

$z' = 0 \Leftrightarrow 3x^2 - 48 = 0 \Leftrightarrow z = \pm 4$

$\bullet\quad z'' = f''(x)=  6x$

$+)\quad f''(-4) = -24 <0$

$+)\quad f''(4) = 24 >0$

Vậy hàm số đạt cực đại tại $x = -4;\ z_{\max} = f(-4) = 148$

hàm số đạt cực tiểu tại $x = 4;\ z_{\min} = f(4) = -108$

 b) $z = f(x,y) = x^3 + y^2 + 12xy +4$

Tọa độ điểm dừng là nghiệm của hệ phương trình:

$\quad \begin{cases}z_x' = 0\\z_y' = 0\end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}3x^2 + 12y = 0\\2y + 12x = 0\end{cases}$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}\begin{cases}x= 0\\y = 0\end{cases}\\\begin{cases}x = 24\\y = -144\end{cases}\end{array}\right.$

$\Rightarrow$ Hàm số có hai điểm dừng $O(0;0);\ M(24;-144)$

Đặt $\begin{cases}A = z_{xx}'' = 6x\\B = z_{xy}'' = 12\\C = z_{yy}'' = 2\end{cases}$

$\bullet$ Tại điểm dừng $O(0;0)$ ta được:

$\begin{cases}A = 0\\B = 12\\C = 2 >0\end{cases}$

$\Rightarrow B^2 - AC =144>0$

Do đó hàm số không đạt cực trị tại $O(0;0)$

$\bullet$ Tại điểm dừng $M(24;-144)$ ta được:

$\begin{cases}A = 144 > 0\\B = 12\\C = 2\end{cases}$

$\Rightarrow B^2 - AC = - 144 < 0$

Do đó hàm số đạt cực tiểu tại $M(24;-144);\ z_{\min} = f(24;-144)= -6908$

c) Gọi miền $D = \{(x,y)\in \Bbb R^2\ |\ 0\leqslant x \leqslant 6;\ -1\leqslant y \leqslant 2\}$ là miền đóng và bị chặn được biểu diễn bởi hình dưới

$\bullet$ Xét miền trong của $D: U = \{(x,y)\in\Bbb R^2\ |\ 0 < x < 6;\ -1 < y < 2\}$

Tọa độ điểm dừng là nghiệm của hệ phương trình:

$\quad \begin{cases}z_x' = 0\\z_y' = 0\end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}3x^2 + 12y = 0\\2y + 12x = 0\end{cases}$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}\begin{cases}x= 0\\y = 0\end{cases}\qquad\ \ \ (l)\\\begin{cases}x = 24\\y = -144\end{cases}\quad (l)\end{array}\right.$

$\Rightarrow$ Không có điểm dừng trong $U$

$\bullet$ Xét trên biên $L_1 =\{(x,y)\in \Bbb R^2\ |\ x = 0; -1 < y < 2\}$ ta được:

$z_1 = f(y) = y^2 + 4$

$z_1' = 2y$

$z_1' = 0 \Leftrightarrow y = 0$

$\Rightarrow$ Hàm số có một điểm dừng $(0;0)$ trên biên $L_1$ và $f(0;0) = 4$

$\bullet$ Xét trên biên $L_2= \{(x,y)\in \Bbb R^2\ |\ y= 2 ; 0< x < 6\}$ ta được:

$z_2 = f(x) = x^3 + 24x + 8$

$z_2' = 3x^2 + 24 >0$

$\Rightarrow$ Hàm số không có điểm dừng trên biên $L_2$

$\bullet$ Xét trên biên $L_3 =\{(x,y)\in \Bbb R^2\ |\ x = 6; -1 < y < 2\}$ ta được:

$z_3 = f(y)  =y^2 +72y + 220$

$z_3' = 2y + 72$

$z_3' = 0 \Leftrightarrow y = - 36 \notin L_3$

$\Rightarrow$ Hàm số không có điểm dừng trên biên $L_3$

$\bullet$ Xét trên biên $L_4 =\{(x,y)\in \Bbb R^2\ |\ y= -1; 0 < x < 6\}$ ta được:

$z_4 = f(x) = x^3 - 12x + 5$

$z_4' = 3x^2 - 12$

$z_4' = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x= - 2\quad (l)\\x = 2\quad\ (n)\end{array}\right.$

$\Rightarrow$ Hàm số có một điểm dừng $(2;-1)$ trên biên $L_4$ và $f(2;-1) = -11$

Tại $A(0;2) \Rightarrow z = f(0;2) = 8$

Tại $B(6;2)\Rightarrow z = f(6;2) = 368$

Tại $C(6;-1)\Rightarrow z = f(6;-1) =149$

Tại $D(0;-1)\Rightarrow z = f(0;-1) =5$

Vậy $\mathop{\max}\limits_{D}f = 368;\ \mathop{\min}\limits_{D}f =-11$