Đáp án:
\(\begin{array}{l}
36)\quad S = \{-2;2\}\\
37)\quad S = \{2\}\\
38)\quad S = \{1\}
\end{array}\)
Giải thích các bước giải:
\(\begin{array}{l}
36)\quad \left(\sqrt{7 + \sqrt{48}}\right)^x + \left(\sqrt{7 - \sqrt{48}}\right)^x = 14\\
\Leftrightarrow \left(\sqrt{7 + \sqrt{48}}\right)^x + \dfrac{1}{\left(\sqrt{7 + \sqrt{48}}\right)^x} - 14= 0\\
\Leftrightarrow \left(\sqrt{7 + \sqrt{48}}\right)^{2x} - 14\left(\sqrt{7 + \sqrt{48}}\right)^x + 1=0\\
\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}\left(\sqrt{7 + \sqrt{48}}\right)^x = 7 + \sqrt{48}\\\left(\sqrt{7 + \sqrt{48}}\right)^x = 7 - \sqrt{48}\end{array}\right.\\
\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}\left(\sqrt{7 + \sqrt{48}}\right)^x =\left(\sqrt{7 + \sqrt{48}}\right)^2\\\left(\sqrt{7 + \sqrt{48}}\right)^x =\left(\sqrt{7 + \sqrt{48}}\right)^{-2}\end{array}\right.\\
\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = 2\\x = -2\end{array}\right.\\
\text{Vậy}\ S = \{-2;2\}\\
37)\quad \left(\sqrt{2 - \sqrt3}\right)^x + \left(\sqrt{2 + \sqrt3}\right)^x = 2^x\\
\Leftrightarrow \left(\dfrac{\sqrt{2 - \sqrt3}}{2}\right)^x +\left(\dfrac{\sqrt{2 + \sqrt3}}{2}\right)^x = 1\\
\text{Xét hàm số}\ f(x)= \left(\dfrac{\sqrt{2 - \sqrt3}}{2}\right)^x +\left(\dfrac{\sqrt{2 + \sqrt3}}{2}\right)^x \\\
\Rightarrow f'(x) = \left(\dfrac{\sqrt{2 - \sqrt3}}{2}\right)^x\ln\left(\dfrac{\sqrt{2 - \sqrt3}}{2}\right) + \left(\dfrac{\sqrt{2 - \sqrt3}}{2}\right)^x\ln\left(\dfrac{\sqrt{2 + \sqrt3}}{2}\right) < 0\\
\Rightarrow \text{Hàm số $f(x)$ nghịch biến trên $\Bbb R$}\\
\Rightarrow f(x) = 1\ \text{có nghiệm duy nhất}\\
\text{Ta lại có:}\ f(2) = 1\\
\Rightarrow x = 2\ \text{là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho}\\
\text{Vậy}\ S = \{2\}\\
38)\quad \left(3 + 2\sqrt2\right)^x + \left(3 - 2\sqrt2\right)^x = 6^x\\
\Leftrightarrow \left(\dfrac{3 + 2\sqrt2}{6}\right)^x + \left(\dfrac{3 - 2\sqrt2}{6}\right)^x = 1\\
\text{Xét hàm số}\ f(x) = \left(\dfrac{3 + 2\sqrt2}{6}\right)^x + \left(\dfrac{3 - 2\sqrt2}{6}\right)^x\\
\Rightarrow f'(x) = \left(\dfrac{3 + 2\sqrt2}{6}\right)^x\ln\left(\dfrac{3 + 2\sqrt2}{6}\right) + \left(\dfrac{3 - 2\sqrt2}{6}\right)^x\ln\left(\dfrac{3 - 2\sqrt2}{6}\right) <0\\
\Rightarrow \text{Hàm số $f(x)$ nghịch biến trên $\Bbb R$}\\
\Rightarrow f(x) = 1\ \text{có nghiệm duy nhất}\\
\text{Ta lại có:}\ f(1) = 1\\
\Rightarrow x = 1\ \text{là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho}\\
\text{Vậy}\ S = \{1\}
\end{array}\)
