Giả sử `Δ ABC` có hai đường trung tuyến `BE` và `C`F vuông góc với nhau, `AD` là đường trung tuyến thứ ba. Ta cần chứng minh `AD^2 = BE^2 + CF^2`
Trên tia đối của tia `EF` lấy điểm `K` sao cho `EF = FK`
Tứ giác `AKCF` có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm `E` của mỗi đường
`=>` `AKCF` là hình bình hành
`=> AK`$//$`FC. `
Mà `FC ⊥ BE`
`=> BE ⊥ AK`
Ta có: `F` là trung điểm của `AB, E` là trung điểm của `AC`
`=>EF` là đường trung bình của `ΔABC`
`=> EF = 1/2 BC ` và `EF`$//$`BC` hay `EK`$//$`BD (1)`
mà `BD = 1/2 BC` (gt) `=>` `EF = BD => EK = BD (2)`
`(1)(2) ->` `EKDB` là hình bình hành.
`=> EB` $//$ `DK`
mà `BE ⊥ AK`
`=> DK ⊥ AK`
`=> ΔAKD` vuông tại `K `
`=> AK^2 + KD^2 = AD^2` (theo định lý Py-ta-go)
mà ta có: `AK = FC` (do `AKCF` là hình bình hành); `KD = BE` (do `EKDB` là hình bình hành)
`=>` `AD^2 = BE^2 + CF^2` (đpcm)
