1.

\( 30 = a . m + r (m \in \mathbb{N}); 17 = a . n + r (n \in \mathbb{N}) \\ 30 - 17 = am + r - (an + r) \\\Leftrightarrow 13 = a(m - n) \\\Leftrightarrow a \in Ư(13); (m - n) \in Ư(13) \)

Do \( a e 1 \\\Rightarrow a = 13 \)

\( 17 = a . n + r = 13 . n + r \)

Vì \( n \in \mathbb{N} \) nên \( n = 1 \Rightarrow r = 4 \)

2.

\( 2n + 1 = 2n - 6 + 7 = 2(n - 3) + 7 \\ 2(n - 3) \vdots n - 3 \)

Để \( 2n + 1 \vdots n - 3 \Rightarrow 7 \vdots n - 3 \Rightarrow n - 3 \in \left \{ 1;7 \right \} \)

\( n^2 + 3 = n^2 - 1 + 4 = (n + 1)(n - 1) + 4\\ (n + 1)(n - 1) \vdots n + 1 \)

Để \( n^2 + 3 \vdots n + 1 \Rightarrow 4 \vdots n + 1 \Rightarrow n + 1 \in \left \{ 1;2;4 \right \} \)

3.

\( p = 2 \Rightarrow p + 20 \) không là số nguyên tố (loại)

\( p = 3 \)

\( p + 20 = 3 + 20 = 23 \) là số nguyên tố

\( p + 40 = 3 + 40 = 43 \) là số nguyên tố

(nhận)

\( p > 3 \)

\( p = 3k + 1 \Rightarrow p + 20 = 3k + 1 + 20 = 3k + 21 = 3(k + 7) \vdots 3 \)

Vậy \( p + 20 \) không là số nguyên tố (loại)

\( p = 3k + 2 \Rightarrow p + 40 = 3k + 2 + 40 = 3k + 42 = 3(k + 14) \vdots 3 \)

Vậy \( p + 40 \) không là số nguyên tố (loại)

Vậy \( p = 3 \Rightarrow p + 8 = 3 + 8 = 11 \) là số nguyên tố (ĐPCM)