Cho hình chóp đều \(S.ABC\) có cạnh đáy bằng \(a\). Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(SA\) và \(SC\). Biết rằng \(BM\) vuông góc với \(AN\). Thể tích khối chóp \(S.ABC\) bằng:A.\(\dfrac{{\sqrt {14} {a^3}}}{8}\)B.\(\dfrac{{\sqrt 3 {a^3}}}{4}\)C.\(\dfrac{{\sqrt 3 {a^3}}}

639741983537716

2 năm trước

Cho hình chóp đều \(S.ABC\) có cạnh đáy bằng \(a\). Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(SA\) và \(SC\). Biết rằng \(BM\) vuông góc với \(AN\). Thể tích khối chóp \(S.ABC\) bằng:
A.\(\dfrac{{\sqrt {14} {a^3}}}{8}\)
B.\(\dfrac{{\sqrt 3 {a^3}}}{4}\)
C.\(\dfrac{{\sqrt 3 {a^3}}}{{12}}\)
D.\(\dfrac{{\sqrt {14} {a^3}}}{{24}}\)

Loga Hóa Học lớp 12

0 lượt thích 23 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

639741983537716

Đáp án đúng: D
Giải chi tiết:
Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ, coi \(a = 1\). Gọi \(H\) là trọng tâm tam giác \(ABC,\,\,E,\,\,F\) lần lượt là hình chiếu của \(H\) lên \(Ay,\,\,Ax\),
Tam giác \(ABC\) đều cạnh 1
\( \Rightarrow BE = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow HE = \dfrac{{\sqrt 3 }}{6} = AF;\,\,AE = \dfrac{1}{2}\).
Ta có: \(A\left( {0;0;0} \right),\,\,B\left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{2};\dfrac{1}{2};0} \right),\,\,C\left( {0;1;0} \right),\,\,H\left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{6};\dfrac{1}{2};0} \right)\).
\(H\) là trọng tâm tam giác đều \(ABC\), chóp \(S.ABC\) đều \( \Rightarrow SH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow \) Gọi \(S\left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{2};\dfrac{1}{2};s} \right)\), không mất tính tổng quát, ta giả sử \(s > 0\).
\(M\) là trung điểm của \(SA \Rightarrow M\left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{{12}};\dfrac{1}{4};\dfrac{s}{2}} \right)\), \(N\) là trung điểm của \(SC \Rightarrow N\left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{{12}};\dfrac{3}{4};\dfrac{s}{2}} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {BM} = \left( { - \dfrac{{5\sqrt 3 }}{{12}}; - \dfrac{1}{4};\dfrac{s}{2}} \right);\,\,\overrightarrow {AN} = \left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{{12}};\dfrac{3}{4};\dfrac{s}{2}} \right)\).
\(BM \bot AN \Rightarrow \overrightarrow {BM} .\overrightarrow {AN} = 0 \Leftrightarrow - \dfrac{5}{{48}} - \dfrac{3}{{16}} + \dfrac{{{s^2}}}{4} = 0 \Leftrightarrow \dfrac{{{s^2}}}{4} = \dfrac{7}{{24}} \Leftrightarrow s = \dfrac{{\sqrt {42} }}{6}\).
\( \Rightarrow S\left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{2};\dfrac{1}{2};\dfrac{{\sqrt {42} }}{6}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {SH} = \left( {0;0; - \dfrac{{\sqrt {42} }}{6}} \right) \Rightarrow SH = \dfrac{{\sqrt {42} }}{6}\).
Tổng quát : \(SH = \dfrac{{a\sqrt {42} }}{6}\) ; lại có \({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\). Vậy \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt {42} }}{6}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{a^3}\sqrt {14} }}{{24}}\).
Chọn D.

Vote (0) Phản hồi (0) 2 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Xét các số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| z \right| = 1\), giá trị nhỏ nhất của biểu thức \({\left| {{z^4} + z + \dfrac{1}{2}} \right|^2}\) bằng:
A.\(\frac{{\sqrt 2 }}{8}\)
B.\(\frac{1}{8}\)
C.\(\frac{1}{{16}}\)
D.\(\frac{1}{4}\)

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng xét dấu đạo hàm như sau:
Hàm số \(f\left( {{x^2} + 2x} \right)\) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A.\(\left( {1; + \infty } \right)\)
B.\(\left( { - 3; - 2} \right)\)
C.\(\left( {0;1} \right)\)
D.\(\left( { - 2;0} \right)\)

Trong không gian \(Oxyz\), cho các điểm \(A\left( {2;2;2} \right),\,\,B\left( {2;4; - 6} \right),\,\,C\left( {0;2; - 8} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x + y + z = 0\). Xét các điểm \(M\) thuộc \(\left( P \right)\) sao cho \(\angle AMB = {90^0}\), đoạn thẳng \(CM\) có độ dài lớn nhất bằng:
A.\(2\sqrt {15} \)
B.\(2\sqrt {17} \)
C.\(8\)
D.\(9\)

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {0;4} \right]\) thỏa mãn \(f''\left( x \right)f\left( x \right) + \frac{{{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}}}{{{{\sqrt {\left( {2x + 1} \right)} }^3}}} = {\left[ {f'\left( x \right)} \right]^2}\) và \(f\left( x \right) > 0\) với mọi \(x \in \left[ {0;4} \right]\). Biết rằng \(f'\left( 0 \right) = f\left( 0 \right) = 1\), giá trị của \(f\left( 4 \right)\) bằng:
A.\({e^2}\)
B.\(2e\)
C.\({e^3}\)
D.\({e^2} + 1\)

Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \sin x\) là:
A.\( - \cos x + C\)
B.\(\cos x + C\)
C.\(\tan x + C\)
D.\( - \cot x + C\)

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng biến thiên:
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng:
A.\(\left( { - \infty ; - 1} \right)\)
B.\(\left( {3; + \infty } \right)\)
C.\(\left( { - 2;\,\,2} \right)\)
D.\(\left( { - 1;\,\,3} \right)\)

Với \(a > 0,\) biểu thức \({\log _2}\left( {8a} \right)\) bằng:
A.\(3 + {\log _2}a\)
B.\(4 + {\log _2}a\)
C.\(4{\log _2}a\)
D.\(3{\log _2}a\)

Thể tích của khối cầu có bán kính \(R = 2\) bằng:
A.\(8\pi \)
B.\(16\pi \)
C.\(\dfrac{{32\pi }}{3}\)
D.\(\dfrac{{16\pi }}{3}\)

Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau lập từ các chữ số \(1;\,\,2;\,\,3;\,\,4;\,\,5;\,\,6?\)
A.20 số
B.216 số
C.729 số
D.120 số

Phát biểu nào sau đây sai khi nói về tiêu hóa ở động vật?
A.Ở động vật có túi tiêu hóa, thức ăn được tiêu hóa cơ học trong túi tiêu hóa.
B.Ở động vật có ống tiêu hóa, thức ăn được tiêu hóa ngoại bào.
C.Ống tiêu hóa phân hóa thành các bộ phận khác nhau thực hiện các chức năng khác nhau như tiêu hóa cơ học, tiêu hóa hóa học, hấp thụ thức ăn.
D.Túi tiêu hóa không có sự chuyên hóa về chức năng như ống tiêu hóa

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến