Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(a\). Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(BB'\) và\(AC'\) bằng:
A.\(a\)
B.\(\frac{a}{2}\)
C.\(\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
D.\(\sqrt 2 a\)

Trong một lớp học có hai tổ. Tổ 1 gồm 8 học sinh nam và 7 học sinh nữ. Tổ 2 gồm 5 học sinh nam và 7 học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên mỗi tổ hai em học sinh. Xác suất để trong bốn em được chọn có 2 nam và 2 nữ bằng:
A.\(\frac{{40}}{{99}}\)
B.\(\frac{{19}}{{165}}\)
C.\(\frac{{197}}{{495}}\)
D.\(\frac{{28}}{{99}}\)

Cho hai số phức \({z_1} = 2 + 3i,\,\,{z_2} = 3 - i\). Số phức \(2{z_1} - \overline {{z_2}} \) có phần ảo bằng:
A.\(1\)
B.\(3\)
C.\(5\)
D.\(7\)

Biết rằng phương trình \(\log _2^2x - 3{\log _2}x + 1 = 0\) có hai nghiêm phân biệt. Gọi hai nghiệm đó là \({x_1},\,\,{x_2}\). Giá trị của tích \({x_1}{x_2}\) bằng:
A.\(8\)
B.\(6\)
C.\(2\)
D.\(9\)

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\,\,\left( {\left| m \right| < 10} \right)\) để phương trình \({2^{x - 1}} = {\log _4}\left( {x + 2m} \right) + m\) có nghiệm?
A.\(9\)
B.\(10\)
C.\(5\)
D.\(4\)

Cho hình chóp đều \(S.ABC\) có cạnh đáy bằng \(a\). Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(SA\) và \(SC\). Biết rằng \(BM\) vuông góc với \(AN\). Thể tích khối chóp \(S.ABC\) bằng:
A.\(\dfrac{{\sqrt {14} {a^3}}}{8}\)
B.\(\dfrac{{\sqrt 3 {a^3}}}{4}\)
C.\(\dfrac{{\sqrt 3 {a^3}}}{{12}}\)
D.\(\dfrac{{\sqrt {14} {a^3}}}{{24}}\)

Xét các số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| z \right| = 1\), giá trị nhỏ nhất của biểu thức \({\left| {{z^4} + z + \dfrac{1}{2}} \right|^2}\) bằng:
A.\(\frac{{\sqrt 2 }}{8}\)
B.\(\frac{1}{8}\)
C.\(\frac{1}{{16}}\)
D.\(\frac{1}{4}\)

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng xét dấu đạo hàm như sau:
Hàm số \(f\left( {{x^2} + 2x} \right)\) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A.\(\left( {1; + \infty } \right)\)
B.\(\left( { - 3; - 2} \right)\)
C.\(\left( {0;1} \right)\)
D.\(\left( { - 2;0} \right)\)

Trong không gian \(Oxyz\), cho các điểm \(A\left( {2;2;2} \right),\,\,B\left( {2;4; - 6} \right),\,\,C\left( {0;2; - 8} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x + y + z = 0\). Xét các điểm \(M\) thuộc \(\left( P \right)\) sao cho \(\angle AMB = {90^0}\), đoạn thẳng \(CM\) có độ dài lớn nhất bằng:
A.\(2\sqrt {15} \)
B.\(2\sqrt {17} \)
C.\(8\)
D.\(9\)

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {0;4} \right]\) thỏa mãn \(f''\left( x \right)f\left( x \right) + \frac{{{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}}}{{{{\sqrt {\left( {2x + 1} \right)} }^3}}} = {\left[ {f'\left( x \right)} \right]^2}\) và \(f\left( x \right) > 0\) với mọi \(x \in \left[ {0;4} \right]\). Biết rằng \(f'\left( 0 \right) = f\left( 0 \right) = 1\), giá trị của \(f\left( 4 \right)\) bằng:
A.\({e^2}\)
B.\(2e\)
C.\({e^3}\)
D.\({e^2} + 1\)