Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^4} + a{x^3} + b{x^2} + cx + 1\). Biết rằng đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) có ít nhất một giao điểm với trục hoành. Bất đẳng thức nào sau đây đúng?A.\({a^2} + {b^2} + {c^2} > \dfrac{4}{3}\).B.\({a^2} + {b^2} + {c^2}

mphuong

2 năm trước

Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^4} + a{x^3} + b{x^2} + cx + 1\). Biết rằng đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) có ít nhất một giao điểm với trục hoành. Bất đẳng thức nào sau đây đúng?
A.\({a^2} + {b^2} + {c^2} > \dfrac{4}{3}\).
B.\({a^2} + {b^2} + {c^2} < \dfrac{4}{3}\).
C.\({a^2} + {b^2} + {c^2} \ge \dfrac{4}{3}\).
D.\({a^2} + {b^2} + {c^2} \le \dfrac{4}{3}\).

Loga Hóa Học lớp 12

0 lượt thích 21 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

mphuong

Đáp án đúng: C
Giải chi tiết:Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và trục hoành là: \({x^4} + a{x^3} + b{x^2} + cx + 1 = 0\) (1)
Gọi \({x_0}\) là nghiệm của phương trình (1), (hiển nhiên \({x_0} \ne 0\)). Khi đó: \(x_0^4 + ax_0^3 + bx_0^2 + c{x_0} + 1 = 0\) (2)
Ta có: \(\left( 2 \right) \Leftrightarrow b = - x_0^2 - \dfrac{1}{{x_0^2}} - a{x_0} - \dfrac{c}{{{x_0}}}\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopski, ta có:
\(\begin{array}{l}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\left( {x_0^2 + \dfrac{1}{{x_0^2}} + 1} \right) = \left( {{a^2} + {{\left( { - x_0^2 - \dfrac{1}{{x_0^2}} - a{x_0} - \dfrac{c}{{{x_0}}}} \right)}^2} + {c^2}} \right)\left( {x_0^2 + 1 + \dfrac{1}{{x_0^2}}} \right)\\ \ge {\left( {a.{x_0} + \left( { - x_0^2 - \dfrac{1}{{x_0^2}} - a{x_0} - \dfrac{c}{{{x_0}}}} \right).1 + c.\dfrac{1}{{{x_0}}}} \right)^2} = {\left( {a{x_0} - x_0^2 - \dfrac{1}{{x_0^2}} - a{x_0} - \dfrac{c}{{{x_0}}} + \dfrac{c}{{{x_0}}}} \right)^2} = {\left( {x_0^2 + \dfrac{1}{{x_0^2}}} \right)^2}\\ \Rightarrow \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge \dfrac{{{{\left( {x_0^2 + \dfrac{1}{{x_0^2}}} \right)}^2}}}{{x_0^2 + \dfrac{1}{{x_0^2}} + 1}}\end{array}\)
Đặt \(t = x_0^2 + \dfrac{1}{{x_0^2}} \ge 2\), ta có: \(\dfrac{{{{\left( {x_0^2 + \dfrac{1}{{x_0^2}}} \right)}^2}}}{{x_0^2 + \dfrac{1}{{x_0^2}} + 1}} = \dfrac{{{t^2}}}{{t + 1}} \ge \dfrac{4}{3},\,\,\forall t \ge 2\)\( \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge \dfrac{4}{3}\)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}a = b = c = - \dfrac{2}{3}\\a = c = \dfrac{2}{3},\,b = - \dfrac{2}{3}\end{array} \right.\).
Chọn: C

Vote (0) Phản hồi (0) 2 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {2^{3x}}?\)
A.\(F(x) = \dfrac{{{2^{3x}}}}{{2.\ln 3}}\).
B.\(F(x) = 3.\;{2^{3x}}.\ln 2\).
C.\(F(x) = \dfrac{{{2^{3x}}}}{{2.\ln 2}} - 1\).
D.\(F(x) = \dfrac{{{2^{3x}}}}{{3.\ln 2}}\).

Diện tích \(S\) của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số \(y = x,\;\;y = {\sin ^2}x\) và đường thẳng \(x = - \dfrac{\pi }{4}\) bằng
A.\( - \dfrac{{{\pi ^2}}}{{32}} + \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{1}{4}\)
B.\(\dfrac{{{\pi ^2}}}{{32}} + \dfrac{\pi }{8} - \dfrac{1}{8}\)
C.\(\dfrac{{{\pi ^2}}}{{32}} + \dfrac{\pi }{8} - \dfrac{1}{4}\)
D.\(\dfrac{{{\pi ^2}}}{{32}} - \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{1}{4}\)

Một hình chóp có tất cả \(10\) cạnh. Số mặt của hình chóp đó bằng
A.6
B.7
C.4
D.5

\(\,{\left( {\frac{{ - 2}}{3}} \right)^2}.\frac{{ - 7}}{{15}} + \frac{{ - 4}}{9}.\frac{8}{{15}} - \frac{5}{9}\)
A.\(-1\)
B.\(-4\)
C.\(-10\)
D.\(-49\)

Một khối cầu có bán kính là \(5\,\left( {dm} \right)\), người ta cắt bỏ hai phần của khối cầu bằng hai mặt phẳng song song cùng vuông góc đường kính và cách tâm một khoảng \(3\left( {dm} \right)\) để làm một chiếc lu đựng nước (hình vẽ). Tính thể tích nước tối đa mà chiếc lu có thể chứa được.
A.\(\dfrac{{43}}{3}\pi \left( {d{m^3}} \right)\).
B.\(\dfrac{{100}}{3}\pi \left( {d{m^3}} \right)\).
C.\(41\pi \left( {d{m^3}} \right)\).
D.\(132\pi \left( {d{m^3}} \right)\).

\(\,x - \frac{3}{7} = \frac{{ - 13}}{{14}}\)
A.\(x = \frac{{ 5}}{4}\)
B.\(x = \frac{{ -5}}{4}\)
C.\(x = \frac{{ 1}}{2}\)
D.\(x = \frac{{ - 1}}{2}\)

\(\,3,5 - 2x = 5\frac{1}{3}:\frac{8}{3}\)
A.\(x = \frac{9}{4}\)
B.\(x = \frac{5}{4}\)
C.\(x = \frac{3}{4}\)
D.\(x = \frac{-3}{4}\)

\(\,\frac{x}{{15}} = \frac{3}{5} + \frac{{ - 2}}{3}\)
A.\(x = - 1\)
B.\(x = - 10\)
C.\(x = 1\)
D.\(x = 10\)

Cho hàm số y = x4 – 3x2 – 2. (1). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (2). Tìm số thực dương a để đường thẳng y = a cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho tam giác OAB vuông tại gốc tọa độ O.
A.a = 2 a = 0
B.a = -2
C.a = 2
D.a = 0

Cho bảng số liệu sau : Dân số Việt Nam qua các năm( Nghìn người)
Để thể hiện cơ cấu dân số nước ta phân theo thành thị nông thôn giai đoạn 2000 - 2014 biểu đồ thich hợp nhất là
A.kết hợp.
B.cột.
C.miền.
D.đường

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến