Cho biểu thức \(P = {a^4} + {b^4} - ab,\) với \(a,\,\,b\) là các số thực thỏa mãn \({a^2} + {b^2} + ab = 3.\) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P.\)A.\(\min P = 1\,\,;\,\,\max P = 21\)B.\(\min P = 2\,\,;\,\,\max P = 20\)C.\(\min P = 3\,\,;\,\,\max P = 23\)D

dragonprovc

2 năm trước

Cho biểu thức \(P = {a^4} + {b^4} - ab,\) với \(a,\,\,b\) là các số thực thỏa mãn \({a^2} + {b^2} + ab = 3.\) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P.\)
A.\(\min P = 1\,\,;\,\,\max P = 21\)
B.\(\min P = 2\,\,;\,\,\max P = 20\)
C.\(\min P = 3\,\,;\,\,\max P = 23\)
D.\(\min P = 4\,\,;\,\,\max P = 25\)

Loga Hóa Học lớp 12

0 lượt thích 20 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

dragonprovc

Đáp án đúng: A
Giải chi tiết:Ta có \({a^2} + {b^2} + ab = 3 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 3 - ab\)
Ta thấy \({\left( {a - b} \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} \ge 2ab \Leftrightarrow 3 - ab \ge 2ab \Leftrightarrow ab \le 1\)
Lại có \({\left( {a + b} \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} \ge - 2ab \Leftrightarrow 3 - ab \ge - 2ab \Leftrightarrow 3 \ge - ab \Leftrightarrow ab \ge - 3\)
\( \Rightarrow - 3 \le ab \le 1\).
Xét \({a^2} + {b^2} = 3 - ab\) với \( - 3 \le ab \le 1\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {{a^2} + {b^2}} \right)^2} = {\left( {3 - ab} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {a^4} + {b^4} + 2{a^2}{b^2} = 9 - 6ab + {a^2}{b^2}\\ \Leftrightarrow {a^4} + {b^4} = - {a^2}{b^2} - 6ab + 9\end{array}\)
Khi đó \(P = {a^4} + {b^4} - ab = - {a^2}{b^2} - 6ab + 9 - ab\) \( = - {\left( {ab} \right)^2} - 7ab + 9 = \frac{{85}}{4} - {\left( {ab + \frac{7}{2}} \right)^2}\)
Vì \( - 3 \le ab \le 1 \Rightarrow \frac{1}{2} \le ab + \frac{7}{2} \le \frac{9}{2} \Leftrightarrow {\left( {ab + \frac{7}{2}} \right)^2} \le \frac{{81}}{4}\).
Suy ra \(P = \frac{{85}}{4} - {\left( {ab + \frac{7}{2}} \right)^2} \ge \frac{{85}}{4} - \frac{{81}}{4} = 1 \Leftrightarrow P \ge 1\).
Dấu “=” xảy ra khi \(ab = 1\) và \({a^2} + {b^2} = 2 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 1;\,\,b = 1\\a = - 1;\,\,b = - 1\end{array} \right.\)
Ta lại có \(P = - {\left( {ab} \right)^2} - 7ab + 9 = \left( {ab + 3} \right)\left( { - ab - 4} \right) + 21\)
Mà \( - 3 \le ab \le 1\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}ab + 3 \ge 0\\ - ab - 4 < 0\end{array} \right.\) nên \(\left( {ab + 3} \right)\left( { - ab - 4} \right) \le 0 \Rightarrow P \le 21\).
Dấu “=” xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}ab = - 3\\{a^2} + {b^2} + ab = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}ab = - 3\\{\left( {a + b} \right)^2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a = \sqrt 3 \\b = - \sqrt 3 \end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}a = - \sqrt 3 \\b = \sqrt 3 \end{array} \right.\end{array} \right.\)
Vậy giá trị lớn nhất của \(P\) là \(21\); giá trị nhỏ nhất của \(P\) là \(1.\)
Chọn A.

Vote (0) Phản hồi (0) 2 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Trung tâm kinh tế tài chính lớn nhất thế giới trong khoảng 20 năm đầu sau chiến tranh thế giới thứ hai là
A.Liên Xô
B.Nhật Bản
C.Tây Âu
D.Mỹ

Quốc gia đầu tiên trên thế giới phóng thành công vệ tinh nhân tạo của trái đất là
A.Trung Quốc
B.Mỹ
C.Pháp
D.Liên Xô

Đảng Cộng sản Đông Dương phát động cao trào kháng Nhật cứu nước trong hoàn cảnh lịch sử nào?
A.Nhật và Pháp đàn áp khởi nghĩa Bắc Sơn (9 - 1940).
B.Nhật đầu hàng Đồng minh không điều kiện (8 - 1945).
C.Quân Nhật Tiến vào Đông Dương (9 - 1940).
D.Nhật đảo chính Pháp ở Đông Dương (3 - 1945).

Hình thức đấu tranh của phong trào cách mạng (1930 - 1931) ở Việt Nam có điểm mới đó là
A.Có vũ trang tự vệ
B.Nông dân biểu tình
C.Xuất hiện khẩu hiệu đấu tranh chính trị
D.Công nhân hưởng ứng với nông dân

Từ những năm 90 thế kỷ XX đến nay, tổ chức ASEAN đã chuyển trọng tâm hoạt động sang lĩnh vực
A.Hợp tác quân sự
B.Hợp tác giáo dục
C.An ninh chính trị
D.Hợp tác kinh tế

Thời kì 1936 - 1939, Đảng Cộng sản Đông Dương có chủ trương gì?
A.Giương cao hai khẩu hiệu “độc lập dân tộc” và “ruộng đất dân cày”.
B.Tạm gác hai khẩu hiệu “độc lập dân tộc” và “ruộng đất dân cày”.
C.Giương cao khẩu hiệu “độc lập dân tộc”, tạm gác khẩu hiệu “ruộng đất dân cày”.
D.Tạm gác khẩu hiệu “độc lập dân tộc”, giương cao khẩu hiệu “ruộng đất dân cày”.

Trung và tiểu địa chủ Việt Nam sau chiến tranh thế giới thứ nhất là lực lượng
A.có tinh thần chống Pháp và tay sai.
B.làm tay sai cho Pháp.
C.bóc lột nông dân và làm tay sai cho Pháp.
D.thỏa hiệp với Pháp.

Các cuộc khởi nghĩa trong phong trào Cần Vương và Yên Thế đều diễn ra dưới hình thức
A.Đấu tranh chính trị
B.Thương lượng, giảng hòa
C.Kết hợp tác chiến với giảng hòa
D.Khởi nghĩa vũ trang

a) Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 5\\2x - y = 1\end{array} \right..\)
b) Tìm tham số \(a\) để hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - y = a\\7x - 2y = 5a - 1\end{array} \right.\) có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn \(y = 2x.\)
A.\(\begin{array}{l}{\rm{a)}}\,\,\left( {x;y} \right) = \left( {3;2} \right)\\{\rm{b)}}\,\,a = - \frac{1}{8}\end{array}\)
B.\(\begin{array}{l}{\rm{a)}}\,\,\left( {x;y} \right) = \left( {2;3} \right)\\{\rm{b)}}\,\,a = \frac{1}{8}\end{array}\)
C.\(\begin{array}{l}{\rm{a)}}\,\,\left( {x;y} \right) = \left( {1;4} \right)\\{\rm{b)}}\,\,a = \frac{1}{4}\end{array}\)
D.\(\begin{array}{l}{\rm{a)}}\,\,\left( {x;y} \right) = \left( {4;1} \right)\\{\rm{b)}}\,\,a = - \frac{1}{4}\end{array}\)

Giải phương trình \({x^2} - 3x + 2 = 0\)
A.\(S = \left\{ { - 1;2} \right\}\)
B.\(S = \left\{ {1;2} \right\}\)
C.\(S = \left\{ {1; - 2} \right\}\)
D.\(S = \left\{ { - 1; - 2} \right\}\)

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến