Cho phương trình \(2{x^2} - 6x + 3m + 1 = 0\) (với \(m\) là tham số). Tìm các giá trị của \(m\) để phương trình đã cho có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \(x_1^3 + x_2^3 = 9\). A.\(m = 1\) B.\(m = - 1\) C.\(m = 2\) D.\(m = 0\)
Đáp án đúng: A Giải chi tiết:Cho phương trình \(2{x^2} - 6x + 3m + 1 = 0\) (với \(m\) là tham số). Tìm các giá trị của \(m\) để phương trình đã cho có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \(x_1^3 + x_2^3 = 9\). Phương trình đã cho có hai nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta ' \ge 0\) \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {3^2} - 2.\left( {3m + 1} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow 9 - 6m - 2 \ge 0\\ \Leftrightarrow 7 - 6m \ge 0\\ \Leftrightarrow m \le \frac{7}{6}.\end{array}\) Khi đó phương trình có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\). Theo định lí Vi – et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a} = 3\\{x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = \frac{{3m + 1}}{2}\end{array} \right.\) Ta có: \(x_1^3 + x_2^3 = 9 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^3} - 3{x_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 9\) \(\begin{array}{l} \Rightarrow {3^3} - 3.\frac{{3m + 1}}{2}.3 = 9 \Leftrightarrow 27 - \frac{9}{2}\left( {3m + 1} \right) - 9 = 0\\ \Leftrightarrow \frac{{27}}{2} - \frac{{27}}{2}m = 0 \Leftrightarrow m = 1\left( {TM} \right)\end{array}\) Vậy \(m = 1\) thỏa mãn bài toán. Chọn A.