Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có tất cả các cạnh đều bằng \(a.\) Gọi \(M,{\rm{ }}N,{\rm{ }}P,{\rm{ }}Q\) lần lượt thuộc các cạnh \(SA,{\rm{ }}SB,{\rm{ }}SC,{\rm{ }}SD\) sao cho \(\overrightarrow {SM} = \overrightarrow {MA} ;{\rm{ }}\overrightarrow {SN} = 2\overrightarrow {NB} ;{\rm{ }}\overrightarrow {SP} = 3\overrightarrow {PC} ;{\rm{ }}\overrightarrow {SQ} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow {SD} .\) Tính thể tích khối \(SMNPQ.\)
A.\(\dfrac{{3\sqrt 2 {a^3}}}{{16}}.\)
B.\(\dfrac{{\sqrt 2 {a^3}}}{{48}}.\)
C.\(\dfrac{{\sqrt 2 {a^3}}}{{16}}.\)
D.\(\dfrac{{\sqrt 2 {a^3}}}{{32}}.\)

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình chữ nhật có \(AB = a,\,\,AD = 2a\), \(SA\) vuông góc với đáy. Góc giữa \(SB\) và đáy bằng \({60^0}\). Trên \(SA\) lấy điểm \(M\) sao cho \(AM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\), mặt phẳng \(\left( {BCM} \right)\) giao với \(SD\) tại \(N\). Tính \({V_{SBCMN}}\)?
A.\(\dfrac{{10\sqrt 3 {a^3}}}{{27}}\)
B.\(\dfrac{{8\sqrt 3 {a^3}}}{{27}}\)
C.\(\dfrac{{10\sqrt 3 {a^3}}}{9}\)
D.\(\dfrac{{8\sqrt 3 {a^3}}}{9}\)

Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\). Gọi \(M,{\rm{ }}N\) lần lượt là trung điểm của \(SB,{\rm{ }}SD\). Mặt phẳng \(\left( {AMN} \right)\) cắt \(SC\) tại \(E\). Gọi \({V_2}\) là thể tích của khối chóp \(S.AMEN\) và \({V_1}\) là thể tích khối chóp \(S.ABCD\). Khẳng định nào sau đây đúng?
A.\({V_2} = \dfrac{1}{3}{V_1}.\)
B.\({V_2} = \dfrac{1}{4}{V_1}.\)
C.\({V_2} = \dfrac{1}{8}{V_1}.\)
D.\({V_2} = \dfrac{1}{6}{V_1}.\)

Cho lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\)là tam giác vuông tại \(B\). \(AB = 2a,\,\,AC = a\sqrt 5 ,\,\,AA' = 2a\sqrt 3 \). Tính thể tích của khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\).
A.\(V = \dfrac{{2{a^3}\sqrt 3 }}{3}\)
B.\(V = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\)
C.(V = 4{a^3}\sqrt 3 \)
D.\(V = 2{a^3}\sqrt 3 \)

Khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(A\), cạnh \(BC = a\), cạnh bên \(AA' = a\sqrt 3 \) tạo với đáy \(\left( {ABC} \right)\) góc\({60^0}\). Thể tích của khối lăng trụ là:
A.\(\dfrac{{{a^3}}}{8}\)
B.\(\dfrac{{3{a^3}}}{4}\)
C.\(\dfrac{{{a^3}}}{4}\)
D.\(\dfrac{{3{a^3}}}{8}\)

Lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác đều cạnh \(a\). Hình chiếu vuông góc của \(A'\) lên \(\left( {ABC} \right)\) là trung điểm của \(BC\). Góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy là \({60^0}\). Khoảng cách từ \(C'\) đến mặt phẳng \(\left( {ABB'A'} \right)\) là:
A.\(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
B.\(\dfrac{{3a\sqrt {13} }}{{26}}\)
C.\(\dfrac{{3a\sqrt {13} }}{{13}}\)
D.\(\dfrac{{3a\sqrt {10} }}{{20}}\)

Cho lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\), đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(A\). \(E\) là trung điểm của \(B'C',\,\,CB'\) cắt \(BE\) tại \(M\). Tính thể tích \(V\) của khối tứ diện \(ABCM\) biết \(AB = 3a,\,\,AA' = 6a\):
A.\(V = 6{a^3}\)
B.\(V = 6\sqrt 2 {a^3}\)
C.\(V = 8{a^3}\)
D.\(V = 7{a^3}\)

Xét khối chóp tứ giác đều \(S.ABCD\), mặt phẳng chứa đường thẳng \(AB\) đi qua điểm \(C'\) của cạnh \(SC\) chia khối chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau. Tính tỉ số \(\dfrac{{SC'}}{{SC}}.\)
A.\(\dfrac{1}{2}.\)
B.\(\dfrac{2}{3}.\)
C.\(\dfrac{{\sqrt 5 - 1}}{2}.\)
D.\(\dfrac{4}{5}.\)

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình chữ nhật với cạnh \(AB = 2a,\,\,AD = a\). Hình chiếu của \(S\) lên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là trung điểm \(H\) của \(AB,\,\,SC\) tạo với đáy một góc bằng \({45^0}\). Khoảng cách từ điểm \(A\) tới mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\).
A.\(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\)
B.\(\dfrac{{a\sqrt 6 }}{4}\)
C.\(\dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\)
D.\(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}\)

Cho hình chóp \(S.ABC\) tam giác \(ABC\) vuông tại \(B,\,\,BC = a,\,\,AC = 2a\), tam giác \(SAB\) đều. Hình chiếu của \(S\) lên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) trùng với trung điểm \(M\) của \(AC\). Tính thể tích khối chóp \(S.ABC\).
A.\(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\)
B.\(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\)
C.\(\dfrac{{4{a^3}}}{3}\)
D.\(\dfrac{{{a^3}\sqrt 6 }}{6}\)