Câu 28: 3
Để $f(x)$ luôn dương vs mọi $x$ thì
$(m-1)x^2 - (m-5)x + m-1 > 0$ với mọi $x$
ta phải có $m-1 > 0$ và $\Delta < 0$
hay $m > 1$ (*) và
$(m-5)^2 - 4(m-1)(m-1) > 0$
$\Leftrightarrow m^2 - 10m + 25 - 4(m^2 - 2m + 1) > 0$
$\Leftrightarrow -3m^2 -2m +21 >0$
$\Leftrightarrow 3m^2 + 2m - 21 < 0$
Ta thấy $3m^2 + 2m - 21 =0$ khi $m=\dfrac73$ và $m=-3$
Ta có bảng xét dấu như hình vẽ
Từ đó suy ra $-3<m<\dfrac73$ (**)
Từ (*) và (**) vậy $-3 < m < \dfrac{7}{3}$
Bài 29: 4
Để $f(x)$ luôn không dương thì
$(m-4)x^2 + (m+1)x + 2m-1 \leq 0$ với mọi $x$
thì ta phải có $m - 4 < 0$ và $\Delta \leq 0$ hay $m < 4$ (*) và
$(m+1)^2 - 4(m-4)(2m-1) \leq 0$
$\Leftrightarrow m^2 + 2m + 1 - 4(2m^2 -9m + 4) \leq 0$
$\Leftrightarrow -7m^2 + 38m -15 \leq 0$
$\Leftrightarrow 7m^2 - 38m + 15 \geq 0$
Lập bảng xét dấu ta có $m \geq 5$ hoặc $m \leq \dfrac{3}{7}$ (**)
Kết hợp (*) và (**) ta có $m \leq \dfrac{3}{7}$.
Bài 30: 3
Xét phương trình
$(3-2m)x^2 + (3m-2)x + m - 1 = 0$
Với $3-2m=0\Leftrightarrow m=\dfrac32$ phương trình tương đương:
$\left({3.\dfrac32-2}\right)x+\dfrac32-1=0\Leftrightarrow x=-\dfrac15$ phương trình có nghiệm. (*)
Với $3-2m\ne 0$
Ta có
$\Delta = (3m-2)^2 - 4(3-2m)(m-1)$
$= 9m^2 - 12m + 4 - 4(-2m^2 +5m - 3)$
$= 17m^2 -32m +16$
$= \left( m\sqrt{17} - \dfrac{16}{\sqrt{17}} \right)^2 + \dfrac{16}{17} \geq \dfrac{16}{17} > 0$ với mọi $m$
suy ra phương trình luôn có nghiệm với mọi $m$. (**)
Từ (*) và (**) phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
Bài 31: 4
Xét phương trình
$(m+1)x^2 +mx + 7m = 0$
Với $m+1=0\Leftrightarrow m=-1$ phương trình tương đương:
$-x-7=0\Leftrightarrow x=-7$ có nghiệm.
Với $m+1\ne 0\Leftrightarrow m\ne -1$
Ta có
$\Delta = m^2 - 4(m+1).7m$
$= m^2 - 28m^2 - 28m$
$= -27m^2 - 28m$
$= -\left( 3m\sqrt{3} + \dfrac{14}{3\sqrt{3}} \right)^2 + \dfrac{196}{27} \leq \dfrac{196}{27}$
Ta thấy với $m =- \dfrac{14}{27}$ thì phương trình vẫn có nghiệm kép.
Vậy phương trình không phải lúc nào cũng vô nghiệm.
