Đáp án đúng: B
Giải chi tiết:\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} - 2y - 14 - 2\sqrt {2y + 1} = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\\left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2} + 12} \right) = 6\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + 16\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
Đk: \(2y + 1 \ge 0 \Leftrightarrow y \ge - \frac{1}{2}\)
\(\begin{array}{l}\left( 2 \right) \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right) + 12\left( {x - y} \right) = 6\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + 16\\\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow {x^3} - {y^3} + 12\left( {x - y} \right) = 6\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + 16\\\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow {x^3} - 6{x^2} + 12x - 8 = {y^3} + 6{y^2} + 12y + 8\\\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^3} = {\left( {y + 2} \right)^3}\\\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow x - 2 = y + 2\\\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow x = y + 4\end{array}\)
Thế vào phương trình (1) ta được:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{\left( {y + 4} \right)^2} + {y^2} - 2y - 14 - 2\sqrt {2y + 1} = 0\\ \Leftrightarrow 2{y^2} + 6y - 2\sqrt {2y + 1} + 2 = 0\\ \Leftrightarrow 4{y^2} + 12y - 4\sqrt {2y + 1} + 4 = 0\,\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)
Đặt \(t = \sqrt {2y + 1} \,\,\left( {t \ge 0} \right) \Rightarrow 2y = {t^2} - 1\)
Khi đó (*) trở thành:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,{\left( {{t^2} - 1} \right)^2} + 6\left( {{t^2} - 1} \right) - 4t + 4 = 0\\ \Leftrightarrow {t^4} - 2{t^2} + 1 + 6{t^2} - 6 - 4t + 4 = 0\\ \Leftrightarrow {t^4} + 4{t^2} - 4t - 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {t - 1} \right)\left( {{t^3} + {t^2} + 5t + 1} \right) = 0\,\,\left( {**} \right)\end{array}\)
Vì \(t \ge 0\) nên \({t^3} + {t^2} + 5t + 1 > 0\).
Do đó \(\left( {**} \right) \Leftrightarrow t = 1\)
\( \Rightarrow \sqrt {2y + 1} = 1 \Leftrightarrow 2y + 1 = 1 \Leftrightarrow y = 0 \Leftrightarrow x = 4\) (TMĐK \(y \ge - \frac{1}{2}\))
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( {4;0} \right)\).
Chọn B.
