Có bao nhiêu số nguyên \(m\) thuộc khoảng \(\left( { - 10;10} \right)\) để hàm số \(y = {e^{{x^2}}}\left( {x - m} \right)\) có hai điểm cực trị? A.\(18\) B.\(8\) C.\(9\) D.\(16\)
Đáp án đúng: D Giải chi tiết:TXĐ: \(D = \mathbb{R}\) Ta có: \(\begin{array}{l}y = f\left( x \right) = {e^{{x^2}}}\left( {x - m} \right)\\ \Rightarrow f'\left( x \right) = \left( {{e^{{x^2}}}} \right)'.\left( {x - m} \right) + {e^{{x^2}}}.\left( {x - m} \right)'\\ = 2x.{e^{{x^2}}}\left( {x - m} \right) + {e^{{x^2}}}\\ = {e^{{x^2}}}\left( {2{x^2} - 2xm + 1} \right)\\f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 2{x^2} - 2xm + 1 = 0\end{array}\) Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có 2 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) có 2 nghiệm bậc lẻ phân biệt. Suy ra \(2{x^2} - 2xm + 1 = 0\) có 2 nghiệm phân biệt. \(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta ' > 0\\ \Leftrightarrow {m^2} - 2 > 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > \sqrt 2 \\m < \sqrt 2 \end{array} \right.\end{array}\) Mặt khác \(m\) là số nguyên và \(m \in \left( { - 10;10} \right)\) nên \(m \in \left\{ { - 9; - 8; - 7;...; - 2;2;3;4;...;9} \right\}\) Vậy có tất cả 16 giá trị của \(m\) thỏa mãn. Chọn D.