Xét khối chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều, \(SA\) vuông góc với đáy, khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) bằng \(2\). Gọi \(\alpha \) là góc giữa 2 mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\). Tính \(\cos \alpha \) khi thể tí

quanhue2006

2 năm trước

Xét khối chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều, \(SA\) vuông góc với đáy, khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) bằng \(2\). Gọi \(\alpha \) là góc giữa 2 mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\). Tính \(\cos \alpha \) khi thể tích khối chóp \(S.ABC\) nhỏ nhất.
A.\(\cos \alpha = \dfrac{{\sqrt 5 }}{3}\).
B.\(\cos \alpha = \dfrac{{\sqrt 2 }}{3}\).
C.\(\cos \alpha = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\).
D.\(\cos \alpha = \dfrac{2}{3}\).

Loga Hóa Học lớp 12

0 lượt thích 40 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

xuanproplayer

Đáp án đúng: C
Giải chi tiết:
Dựng \(AI \bot BC\) (\(I\) là trung điểm của BC, do tam giác ABC đều).
Dựng \(AK \bot SI\) ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AI\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAI} \right) \Rightarrow BC \bot AK\).
\(\left\{ \begin{array}{l}AK \bot BC\\AK \bot SI\end{array} \right. \Rightarrow AK \bot \left( {SBC} \right)\)\( \Rightarrow d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = AK = 2\).
Ta có: \(BC \bot \left( {SAI} \right)\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow BC \bot SI\).
\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\\left( {SBC} \right) \supset SI \bot BC\\\left( {ABC} \right) \supset AI \bot BC\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \angle \left( {\left( {SBC} \right);\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {SI;AI} \right) = \angle SIA = \alpha \).
Dễ nhận thấy \(\angle SAK = \angle SIA = \alpha \) (cùng phụ với \(\angle KAI\)).
Ta có: \(SA = \dfrac{{AK}}{{{\rm{cos}}\alpha }} = \dfrac{2}{{{\rm{cos}}\alpha }},\,\,AI = \dfrac{{AK}}{{\sin \alpha }} = \dfrac{2}{{\sin \alpha }}\).
Tam giác \(ABC\) đều
\(\begin{array}{l} \Rightarrow AI = \dfrac{{AB\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow AB = \dfrac{{2AI}}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{4}{{\sqrt 3 \sin \alpha }}\\ \Rightarrow {S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{{\sin \alpha }}.\dfrac{4}{{\sqrt 3 \sin \alpha }} = \dfrac{4}{{\sqrt 3 {{\sin }^2}\alpha }}\end{array}\)
Thể tích khối chóp \(S.ABC\) là:
\(\begin{array}{l}V = \dfrac{1}{3}.SA.{S_{ABC}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{2}{{{\rm{cos}}\alpha }}.\dfrac{4}{{\sqrt 3 {{\sin }^2}\alpha }}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{8\sqrt 3 }}{9}.\dfrac{1}{{{{\sin }^2}\alpha .{\rm{cos}}\alpha }} = \dfrac{{8\sqrt 3 }}{9}.\dfrac{1}{{\left( {1 - {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha } \right){\rm{.cos}}\alpha }}\end{array}\)
Xét hàm số \(f\left( x \right) = \left( {1 - {x^2}} \right)x\) với \(x \in \left( {0;1} \right)\) ta có: \(f'\left( x \right) = 1 - 3{x^2}.\)
Cho \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\).
Ta có: \(f\left( 0 \right) = f\left( 1 \right) = 0,\,\,f\left( {\dfrac{1}{{\sqrt 3 }}} \right) = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{9}.\)
\( \Rightarrow \mathop {{\rm{max}}}\limits_{\left( {0;1} \right)} f\left( x \right) = f\left( {\dfrac{1}{{\sqrt 3 }}} \right) = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{9}\).
\( \Rightarrow \) Thể tích khối chóp S.ABC đạt GTNN bằng \(\dfrac{{8\sqrt 3 }}{9}.\dfrac{1}{{\dfrac{{2\sqrt 3 }}{9}}} = 4\) khi và chỉ khi \({\rm{cos}}\alpha = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\).
Chọn: C.

Vote (0) Phản hồi (0) 2 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Bảng biến thiên trong hình bên dưới của hàm số nào dưới đây?
A.\(y = {x^3} - 3x + 4\)
B.\(y = {x^4} - 2{x^2} - 3\)
C.\(y = \frac{{x - 1}}{{2x - 1}}\)
D.\(y = - {x^3} + 3x + 2\)

Khối chóp \(S.ABC\) có \(SA\) vuông góc với \(\left( {ABC} \right)\), đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại B, biết \(SB = 2a\), \(BC = a\) và thể tích khối chóp là \({a^3}\). Khoảng cách từ \(A\) đến \(\left( {SBC} \right)\) là:
A.\(3a\)
B.\(2a\)
C.\(6a\)
D.\(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\)

Giá trị nhỏ nhất của hàm số có bảng biến thiên sau trên đoạn \(\left[ { - 2;3} \right]\) là:
A.\(0.\)
B.\(7.\)
C.\(1.\)
D.\(-3.\)

Giá trị của \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \dfrac{{{x^2} - 2x - 3}}{{{x^2} - 1}}\) là:
A.\(2\)
B.\(1\)
C.\(0\)
D.\( - \infty \)

Kim tự tháp Kê - ốp ở Ai Cập được xây dựng vào khoảng 2500 năm trước Công nguyên. Kim tự tháp này là một khối chóp tứ giác đều có chiều cao 147 m, cạnh đáy dài 230 m. Thế tích của nó là:
A.\(7776300{\rm{ }}{m^3}\)
B.\(3888150{\rm{ }}{m^3}\)
C.\(2592100{\rm{ }}{m^2}\)
D.\(2592100{\rm{ }}{m^3}\)

Cho cấp số cộng với \({u_1} = 3\) và \({u_2} = 5\)thì công sai bằng
A.\(1\)
B.\(-2\)
C.\(2\)
D.\(3\)

Ông An gửi\(320\) triệu đồng vào ngân hàng ACB và VietinBank theo phương thức lãi kép. Số tiền thứ nhất gửi vào ngân hàng ACB với lãi suất \(2,1\% \) một quý trong thời gian \(15\) tháng. Số tiền còn lại gửi vào ngân hàng VietinBank với lãi suất \(0,73\% \) một tháng trong thời gian \(9\) tháng. Biết tổng số tiền lãi ông An nhận được ở hai ngân hàng là \(26670725,95\) đồng. Hỏi số tiền ông An lần lượt ở hai ngân hàng ACB và VietinBank là bao nhiêu (số tiền được làm tròn tới hàng đơn vị)?
A.\(120\) triệu đồng và \(200\) triệu đồng.
B.\(200\) triệu đồng và \(120\) triệu đồng.
C.\(140\) triệu đồng và \(180\) triệu đồng.
D.\(180\) triệu đồng và \(140\) triệu đồng.

Cho parabol \(y = f\left( x \right) = a{x^2}\). tìm khẳng định đúng
A.\(f\left( 3 \right) + f\left( 4 \right) = f\left( 5 \right)\)
B.\(f\left( 4 \right) + f\left( 5 \right) = f\left( 6 \right)\)
C.\(f\left( 6 \right) + f\left( 7 \right) = f\left( 8 \right)\)
D.Cả A, B, C đều đúng

Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để đồ thị hàm số \(y = \left( {2m + 1} \right){x^2}\) nằm phía dưới trục hoành.
A.\(m < - \frac{1}{2}\)
B.\(m > - \frac{1}{2}\)
C.\(m \ge - \frac{1}{2}\)
D.\(m \le - \frac{1}{2}\)

Tìm \(m\) để hàm số \(y = \left( {2m - 3} \right){x^2}\) đồng biến khi \(x < 0.\)
A.\(m \le \frac{3}{2}\)
B.\(m > \frac{3}{2}\)
C.\(m < \frac{3}{2}\)
D.\(m \ge \frac{3}{2}\)

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến