Đáp án:
Giải thích các bước giải:
$ PT <=> x^{3} + 2x^{2} + 3x + 2 = y^{3} (1)$
$ <=> x^{3} + 2(x + \dfrac{3}{4})^{2} + \dfrac{7}{8} = y^{3}$
$ => x^{3} = y^{3} - 2(x + \dfrac{3}{4})^{2} - \dfrac{7}{8} < y^{3}$
$ <=> x < y (*)$ với mọi $x;y$ nguyên
Mặt khác
$ (1) <=> y^{3} = x^{3} + 3x^{2} + 3x + 1 - x^{2} + 1 $
$ <=> y^{3} = (x + 1)^{3} + 1 - x^{2} (2)$
Xét $x^2 =< 1 => 1 - x^{2} >= 0$ có 3 trường hợp:
- Nếu $ x = - 1 => y = 0 (TM)$
- Nếu $ x = 0 => y^{3} = 2 ( ko TM)$
- Nếu $ x = 1 => y = 2 (TM)$
Xét $ x^{2} > 1 => 1 - x^{2} < 0$
Từ $(2) => y^{3} < (x + 1)^{3} $
$ <=> y < x + 1 (**)$
Từ $(*); (**) $ ta có $ : x < y < x + 1 (***)$
Vì $x; x + 1$ là 2 số nguyên liên tiếp nên suy ra
không có số $y$ nguyên nào thỏa mãn$(***)$
KL: chỉ có 2 cặp số nguyên thỏa mãn là:
$(x; y) = (- 1;0); (1; 2)$
